Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (21 − 6) × 2 = 15 × 2 = 30
B = 21 − 6 × 2 = 21 − 12 = 9
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 5)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 5.
D = 2 × 2² − 1 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 2 et 1.
E = 2 + 4 × 9 est une somme : c'est la somme de 2 et du produit de 4 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 47 = 235 ≤ 236 < 240 = 5 × 48 : le quotient est 47, le reste 236 − 235 = 1.
236 = 5 × 47 + 1, avec 1 < 5.
17 × 79 = 1 343 ≤ 1 350 < 1 360 = 17 × 80 : le quotient est 79, le reste 1 350 − 1 343 = 7.
1 350 = 17 × 79 + 7, avec 7 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 345 = 9 × 38 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 9. ✔
(b) 345 = 9 × 39 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 345 = 9 × 37 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 38, reste 3.
Comme 3 < 38 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 345 par 38 : quotient 9, reste 3.
3. 249 = 12 × 20 + 9, avec 9 < 12
a) Elle remplit 20 boîtes pleines.
b) Il reste 9 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 980 | oui | non | oui | non | oui |
| 365 | non | non | oui | non | non |
| 237 | non | oui | non | non | non |
| 8 038 | oui | non | non | non | non |
| 7 983 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
3 980 → 3 + 9 + 8 + 0 = 20 365 → 3 + 6 + 5 = 14 237 → 2 + 3 + 7 = 12
8 038 → 8 + 0 + 3 + 8 = 19 7 983 → 7 + 9 + 8 + 3 = 27
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 5 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 3 : 12 ; □ = 6 : 15 ; □ = 9 : 18
4 solutions : 405, 435, 465, 495.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 891, somme des chiffres 18.
« 4 est un diviseur de 60. » Vrai. 60 = 4 × 15 : le reste de la division de 60 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 22 + 2 × 2 = 22 + 4 = 26
B = 3 + 24 ÷ 3 × 4 = 3 + 8 × 4 = 3 + 32 = 35
C = (9 + 2) × 4 − 18 = 11 × 4 − 18 = 44 − 18 = 26
D = [6 + 8 × (10 − 1)] ÷ 2 = [6 + 8 × 9] ÷ 2 = [6 + 72] ÷ 2 = 78 ÷ 2 = 39
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 + 9 − (5 + 6) = 8 + 9 − 11 = 17 − 11 = 6
9 + (4 + 2) × 8 = 9 + 6 × 8 = 9 + 48 = 57
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 48 × 99 = 48 × (100 − 1) = 48 × 100 − 48 × 1 = 4 800 − 48 = 4 752
F = 22 × 42 − 22 × 32 = 22 × (42 − 32) = 22 × 10 = 220
G = 84 + 5,05 + 16 = 84 + 16 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 10 × 10 = 10² 1,5 × 1,5 = 1,5²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 11² = 11 × 11 = 121 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 10 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 10 < 16 = 4²)
39 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 39 < 49 = 7²) 90 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 90 < 100 = 10²)
100 = 10² : carré 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 4 = 2 × 36 − 4 = 72 − 4 = 68
B = (2 × 6)² − 4 = 12² − 4 = 144 − 4 = 140
C = 1² + 4² = 1 + 16 = 17
D = (1 + 4)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 4 : (n + 6)² = (4 + 6)² = 10² = 100
Pour n = 10 : (n + 6)² = (10 + 6)² = 16² = 256
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 144 : 12 × 12 = 144, c'est-à-dire 12² = 144.
a) Le côté mesure 12 m.
4 × 12 = 48
b) Le périmètre est de 48 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 62 et 97. » → encore 34 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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