Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
B = (2 × 4)² = 8² = 64
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5² + 3² est une somme : c'est la somme des carrés de 5 et de 3.
D = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
E = (27 + 3) ÷ 5 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 27 et 3 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 226 = 904 ≤ 905 < 908 = 4 × 227 : le quotient est 226, le reste 905 − 904 = 1.
905 = 4 × 226 + 1, avec 1 < 4.
21 × 117 = 2 457 ≤ 2 460 < 2 478 = 21 × 118 : le quotient est 117, le reste 2 460 − 2 457 = 3.
2 460 = 21 × 117 + 3, avec 3 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 50 = 6 × 8 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 6. ✔
(b) 50 = 6 × 7 + 8 : le « reste » 8 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(c) 50 = 6 × 9 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 8, reste 2.
Comme 2 < 8 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 50 par 8 : quotient 6, reste 2.
3. 54 = 5 × 10 + 4, avec 4 < 5
a) Chaque joueur reçoit 10 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 987 | non | oui | non | non | non |
| 955 | non | non | oui | non | non |
| 2 818 | oui | non | non | non | non |
| 1 060 | oui | non | oui | non | oui |
| 7 551 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
987 → 9 + 8 + 7 = 24 955 → 9 + 5 + 5 = 19 2 818 → 2 + 8 + 1 + 8 = 19
1 060 → 1 + 0 + 6 + 0 = 7 7 551 → 7 + 5 + 5 + 1 = 18
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 3 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 0 : 9 ; □ = 9 : 18
2 solutions : 603, 693.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 5 est un diviseur de 120. » Vrai. 120 = 5 × 24 : le reste de la division de 120 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 25 + 9 × 8 = 25 + 72 = 97
B = 6 × 7 − 6 × 4 = 42 − 24 = 18
C = (4 + 3) × 5 − 11 = 7 × 5 − 11 = 35 − 11 = 24
D = 4 × [39 − (8 + 5)] = 4 × [39 − 13] = 4 × 26 = 104
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(7 + 8 + 6) × 6 = (15 + 6) × 6 = 21 × 6 = 126
8 + (7 + 3) × 6 = 8 + 10 × 6 = 8 + 60 = 68
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 46 × 11 = 46 × (10 + 1) = 46 × 10 + 46 × 1 = 460 + 46 = 506
F = 12,5 × 0,8 + 12,5 × 0,2 = 12,5 × (0,8 + 0,2) = 12,5 × 1 = 12,5
G = 26 + 0,75 + 74 = 26 + 74 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 8 × 8 = 8² 1,5 × 1,5 = 1,5² 4 × 4 × 4 = 4³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 9² = 9 × 9 = 81 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 3 × 5² = 15² » Faux. 3 × 5² = 3 × 25 = 75, alors que 15² = 225. Le carré ne porte que sur 5.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 24 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 24 < 25 = 5²)
27 = 3³ : cube 62 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 62 < 64 = 8²)
100 = 10² : carré 120 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 120 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 5 = 3 × 9 − 5 = 27 − 5 = 22
B = (3 × 3)² − 5 = 9² − 5 = 81 − 5 = 76
C = 6² + 2² = 36 + 4 = 40
D = (6 + 2)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 2 : (n + 4)² = (2 + 4)² = 6² = 36
Pour n = 10 : (n + 4)² = (10 + 4)² = 14² = 196
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 6² = π × 36 = 36π
a) L'aire exacte est 36π m².
36 × 3,14 = 113,04
b) L'aire vaut environ 113 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 6², et non (π × 6)². On élève 6 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 67 et 121. » → encore 53 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100.
« Je suis divisible par 5. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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