Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (3 + 9) × 2 = 12 × 2 = 24
B = 3 + 9 × 2 = 3 + 18 = 21
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 3² + 2² est une somme : c'est la somme des carrés de 3 et de 2.
D = (7 + 1) ÷ 4 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 7 et 1 par 4.
E = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 64 = 448 ≤ 454 < 455 = 7 × 65 : le quotient est 64, le reste 454 − 448 = 6.
454 = 7 × 64 + 6, avec 6 < 7.
25 × 38 = 950 ≤ 954 < 975 = 25 × 39 : le quotient est 38, le reste 954 − 950 = 4.
954 = 25 × 38 + 4, avec 4 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 94 = 8 × 11 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 94 = 8 × 10 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(c) 94 = 8 × 12 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 11, reste 6.
Comme 6 < 11 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 94 par 11 : quotient 8, reste 6.
3. 235 = 25 × 9 + 10
En 9 soirs, elle lit 225 pages ; il lui en reste encore 10.
a) Il lui faut 9 + 1 = 10 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 10 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 139 | non | oui | non | oui | non |
| 111 | non | oui | non | non | non |
| 4 582 | oui | non | non | non | non |
| 3 340 | oui | non | oui | non | oui |
| 545 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
5 139 → 5 + 1 + 3 + 9 = 18 111 → 1 + 1 + 1 = 3 4 582 → 4 + 5 + 8 + 2 = 19
3 340 → 3 + 3 + 4 + 0 = 10 545 → 5 + 4 + 5 = 14
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 3 = 4 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 6 ; □ = 5 : 9 ; □ = 8 : 12
3 solutions : 123, 153, 183.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 16 est pair mais 16 = 3 × 5 + 1.
« 166 est un multiple de 9. » Faux. 166 = 9 × 18 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 84 − 3 × 5 = 84 − 15 = 69
B = 9 × 9 − 2 × 6 = 81 − 12 = 69
C = (5 × 7 − 8) ÷ 2 = (35 − 8) ÷ 2 = 27 ÷ 2 = 13,5
D = [3 + 6 × (11 − 1)] ÷ 5 = [3 + 6 × 10] ÷ 5 = [3 + 60] ÷ 5 = 63 ÷ 5 = 12,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (8 + 5) + 4 = 6 × 13 + 4 = 78 + 4 = 82
(4 − 3 + 3) × 4 = (1 + 3) × 4 = 4 × 4 = 16
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 29 + 0,75 + 71 = 29 + 71 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
F = 18 × 11 = 18 × (10 + 1) = 18 × 10 + 18 × 1 = 180 + 18 = 198
G = 4,5 × 0,8 + 4,5 × 0,2 = 4,5 × (0,8 + 0,2) = 4,5 × 1 = 4,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 6 × 6 = 6²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 11² = 11 × 11 = 121 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 2 × 4² = 8² » Faux. 2 × 4² = 2 × 16 = 32, alors que 8² = 64. Le carré ne porte que sur 4.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 90 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 90 < 100 = 10²)
136 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 136 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 3² − 1 = 5 × 9 − 1 = 45 − 1 = 44
B = (5 × 3)² − 1 = 15² − 1 = 225 − 1 = 224
C = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
D = (4 + 2)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 6 : x² + 12 = 6² + 12 = 36 + 12 = 48 et 8x = 8 × 6 = 48.
48 = 48 : l'égalité est vraie pour x = 6.
Pour x = 5 : x² + 12 = 5² + 12 = 25 + 12 = 37 et 8x = 8 × 5 = 40.
37 ≠ 40 : l'égalité est fausse pour x = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 2, et seulement pour 6 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 81 : 9 × 9 = 81, c'est-à-dire 9² = 81.
a) Le côté mesure 9 m.
4 × 9 = 36
b) Le périmètre est de 36 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 36. » → encore 34 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25.
« Je suis divisible par 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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