Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 10 + 9 × 2 = 10 + 18 = 28
B = (10 + 9) × 2 = 19 × 2 = 38
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 8² − 19 est une différence : c'est la différence entre le carré de 8 et 19.
D = 14 + 24 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 14 et du quotient de 24 par 4.
E = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 205 = 615 ≤ 616 < 618 = 3 × 206 : le quotient est 205, le reste 616 − 615 = 1.
616 = 3 × 205 + 1, avec 1 < 3.
11 × 102 = 1 122 ≤ 1 130 < 1 133 = 11 × 103 : le quotient est 102, le reste 1 130 − 1 122 = 8.
1 130 = 11 × 102 + 8, avec 8 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 93 = 11 × 8 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 11. ✔
(b) 93 = 11 × 7 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 93 = 11 × 9 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 8, reste 5.
Comme 5 < 8 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 93 par 8 : quotient 11, reste 5.
3. 201 = 6 × 33 + 3, avec 3 < 6
a) Elle remplit 33 boîtes pleines.
b) Il reste 3 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 565 | non | non | oui | non | non |
| 9 206 | oui | non | non | non | non |
| 591 | non | oui | non | non | non |
| 2 100 | oui | oui | oui | non | oui |
| 3 681 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
565 → 5 + 6 + 5 = 16 9 206 → 9 + 2 + 0 + 6 = 17 591 → 5 + 9 + 1 = 15
2 100 → 2 + 1 + 0 + 0 = 3 3 681 → 3 + 6 + 8 + 1 = 18
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 3 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 9 ; □ = 4 : 12 ; □ = 7 : 15
3 solutions : 513, 543, 573.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 74 est pair mais 74 = 3 × 24 + 2.
« 108 est un multiple de 7. » Faux. 108 = 7 × 15 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 36 − 4 + 15 = 32 + 15 = 47
B = 15 + 8 ÷ 2 × 4 = 15 + 4 × 4 = 15 + 16 = 31
C = (4 + 4) × 5 − 3 = 8 × 5 − 3 = 40 − 3 = 37
D = 3,2 + 2 × 1,2 = 3,2 + 2,4 = 5,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 + 4) × 8 + 9 = 12 × 8 + 9 = 96 + 9 = 105
(8 + 2) × 9 − 6 = 10 × 9 − 6 = 90 − 6 = 84
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 18 × 9 = 18 × (10 − 1) = 18 × 10 − 18 × 1 = 180 − 18 = 162
F = 5 × 96 × 20 = 5 × 20 × 96 = 100 × 96 = 9 600
G = 28 × 22 − 28 × 12 = 28 × (22 − 12) = 28 × 10 = 280
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 3 × 3 = 3² 5 × 5 × 5 = 5³
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 12² = 12 × 12 = 144 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « (1 + 4)² = 1² + 4² » Faux. (1 + 4)² = 5² = 25, alors que 1² + 4² = 1 + 16 = 17.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
21 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 21 < 25 = 5²) 63 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 63 < 64 = 8²)
81 = 9² : carré 109 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 109 < 121 = 11²)
121 = 11² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 2² − 3 = 5 × 4 − 3 = 20 − 3 = 17
B = (5 × 2)² − 3 = 10² − 3 = 100 − 3 = 97
C = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
D = (4 + 7)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 3 = 5 × 4² − 3 = 5 × 16 − 3 = 80 − 3 = 77
B = (5a)² − 3 = (5 × 4)² − 3 = 20² − 3 = 400 − 3 = 397
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 900 : 30 × 30 = 900, c'est-à-dire 30² = 900.
a) Le côté mesure 30 m.
4 × 30 = 120
b) Le périmètre est de 120 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 52 et 103. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.