Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (8 − 2) × 2 = 6 × 2 = 12
B = 8 − 2 × 2 = 8 − 4 = 4
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (6 + 4)² est un carré : c'est le carré de la somme de 6 et 4.
D = 17 + 56 ÷ 7 est une somme : c'est la somme de 17 et du quotient de 56 par 7.
E = 3 × 4² − 16 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 4 et 16.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 171 = 684 ≤ 686 < 688 = 4 × 172 : le quotient est 171, le reste 686 − 684 = 2.
686 = 4 × 171 + 2, avec 2 < 4.
26 × 75 = 1 950 ≤ 1 972 < 1 976 = 26 × 76 : le quotient est 75, le reste 1 972 − 1 950 = 22.
1 972 = 26 × 75 + 22, avec 22 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 111 = 10 × 11 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 10. ✔
(b) 111 = 10 × 10 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(c) 111 = 10 × 12 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 11, reste 1.
Comme 1 < 11 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 111 par 11 : quotient 10, reste 1.
3. 267 = 25 × 10 + 17
En 10 soirs, elle lit 250 pages ; il lui en reste encore 17.
a) Il lui faut 10 + 1 = 11 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 17 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 460 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 627 | non | oui | non | oui | non |
| 987 | non | oui | non | non | non |
| 275 | non | non | oui | non | non |
| 8 656 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
9 460 → 9 + 4 + 6 + 0 = 19 3 627 → 3 + 6 + 2 + 7 = 18 987 → 9 + 8 + 7 = 24
275 → 2 + 7 + 5 = 14 8 656 → 8 + 6 + 5 + 6 = 25
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 9 = 17 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 1 : 18
Une seule solution : 819.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 66 est divisible par 3 (66 = 3 × 22) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 4 est un diviseur de 119. » Faux. 119 = 4 × 29 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 51 − 2 + 5 = 49 + 5 = 54
B = 36 ÷ 4 × 3 = 9 × 3 = 27
C = 52 − 3 × (20 − 3) = 52 − 3 × 17 = 52 − 51 = 1
D = [3 + 5 × (10 − 5)] ÷ 2 = [3 + 5 × 5] ÷ 2 = [3 + 25] ÷ 2 = 28 ÷ 2 = 14
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (4 × 3 − 4) = 6 × (12 − 4) = 6 × 8 = 48
8 × (9 − 6) + 2 = 8 × 3 + 2 = 24 + 2 = 26
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2,7 × 0,7 + 2,7 × 0,3 = 2,7 × (0,7 + 0,3) = 2,7 × 1 = 2,7
F = 39 × 101 = 39 × (100 + 1) = 39 × 100 + 39 × 1 = 3 900 + 39 = 3 939
G = 2 × 46 × 5 = 2 × 5 × 46 = 10 × 46 = 460
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 6 × 6 = 6² 3 × 3 × 3 = 3³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 6² = 6 × 6 = 36 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 3² = 1 + 9 = 10, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« (3 + 4)² = 3² + 4² » Faux. (3 + 4)² = 7² = 49, alors que 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
47 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 47 < 49 = 7²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
72 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 72 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 5 = 3 × 36 − 5 = 108 − 5 = 103
B = (3 × 6)² − 5 = 18² − 5 = 324 − 5 = 319
C = 1² + 5² = 1 + 25 = 26
D = (1 + 5)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 4x² − 8 = 4 × 5² − 8 = 4 × 25 − 8 = 100 − 8 = 92
B = (4x)² − 8 = (4 × 5)² − 8 = 20² − 8 = 400 − 8 = 392
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 4x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 36 : 6 × 6 = 36, c'est-à-dire 6² = 36.
a) Le côté mesure 6 m.
4 × 6 = 24
b) Le périmètre est de 24 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 89 et 148. » → encore 58 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121, 144.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 100, 121.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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