Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 2) × 5 = 6 × 5 = 30
B = 4 + 2 × 5 = 4 + 10 = 14
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (23 + 13) ÷ 4 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 23 et 13 par 4.
D = (7 + 5)² est un carré : c'est le carré de la somme de 7 et 5.
E = 1² + 4² est une somme : c'est la somme des carrés de 1 et de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 137 = 411 ≤ 412 < 414 = 3 × 138 : le quotient est 137, le reste 412 − 411 = 1.
412 = 3 × 137 + 1, avec 1 < 3.
24 × 69 = 1 656 ≤ 1 666 < 1 680 = 24 × 70 : le quotient est 69, le reste 1 666 − 1 656 = 10.
1 666 = 24 × 69 + 10, avec 10 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 517 = 14 × 35 + 27 : le « reste » 27 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(b) 517 = 14 × 37 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 517 = 14 × 36 + 13 : le reste 13 est bien inférieur à 14. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 36, reste 13.
Comme 13 < 36 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 517 par 36 : quotient 14, reste 13.
3. 375 = 7 × 53 + 4
a) 375 jours font 53 semaines complètes et 4 jours.
Après 53 semaines complètes, on est de nouveau mercredi. Il reste à avancer de 4 jours : mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 375 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 280 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 417 | non | oui | non | non | non |
| 8 001 | non | oui | non | oui | non |
| 265 | non | non | oui | non | non |
| 1 094 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
8 280 → 8 + 2 + 8 + 0 = 18 417 → 4 + 1 + 7 = 12 8 001 → 8 + 0 + 0 + 1 = 9
265 → 2 + 6 + 5 = 13 1 094 → 1 + 0 + 9 + 4 = 14
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 6 + 7 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 675.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 96 est divisible par 3 (96 = 3 × 32) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 15, n'est pas dans la table de 9).
« 8 est un diviseur de 216. » Vrai. 216 = 8 × 27 : le reste de la division de 216 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 48 − 12 + 12 = 36 + 12 = 48
B = 7 × 4 − 2 × 4 = 28 − 8 = 20
C = 95 − 2 × (19 − 9) = 95 − 2 × 10 = 95 − 20 = 75
D = 3 × [29 − (9 + 6)] = 3 × [29 − 15] = 3 × 14 = 42
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 + 3 × (6 − 6) = 4 + 3 × 0 = 4 + 0 = 4
4 × (9 + 9) + 2 = 4 × 18 + 2 = 72 + 2 = 74
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 32 × 9 = 32 × (10 − 1) = 32 × 10 − 32 × 1 = 320 − 32 = 288
F = 8 × 91 × 125 = 8 × 125 × 91 = 1 000 × 91 = 91 000
G = 2,7 × 0,25 + 2,7 × 0,75 = 2,7 × (0,25 + 0,75) = 2,7 × 1 = 2,7
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 6 × 6 × 6 = 6³ 5 × 5 = 5²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 9² = 9 × 9 = 81 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 5² = 10 » Faux. 5² = 5 × 5 = 25. L'exposant ne multiplie pas : 5 × 2 = 10, c'est le double.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
65 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 65 < 81 = 9²) 100 = 10² : carré
115 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 115 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 9 = 2 × 36 − 9 = 72 − 9 = 63
B = (2 × 6)² − 9 = 12² − 9 = 144 − 9 = 135
C = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
D = (3 + 2)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 1 : x² + 3 = 1² + 3 = 1 + 3 = 4 et 4x = 4 × 1 = 4.
4 = 4 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Pour x = 7 : x² + 3 = 7² + 3 = 49 + 3 = 52 et 4x = 4 × 7 = 28.
52 ≠ 28 : l'égalité est fausse pour x = 7.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 3, et seulement pour 1 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 144 : 12 × 12 = 144, c'est-à-dire 12² = 144.
a) Le côté mesure 12 m.
4 × 12 = 48
b) Le périmètre est de 48 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 15 et 32. » → encore 16 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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