Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 25 − 3 × 5 = 25 − 15 = 10
B = (25 − 3) × 5 = 22 × 5 = 110
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (5 + 3)² est un carré : c'est le carré de la somme de 5 et 3.
D = 3 × (6 − 3) est un produit : c'est le produit de 3 par la différence entre 6 et 3.
E = 3 × 5² − 13 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 5 et 13.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 82 = 656 ≤ 662 < 664 = 8 × 83 : le quotient est 82, le reste 662 − 656 = 6.
662 = 8 × 82 + 6, avec 6 < 8.
11 × 177 = 1 947 ≤ 1 957 < 1 958 = 11 × 178 : le quotient est 177, le reste 1 957 − 1 947 = 10.
1 957 = 11 × 177 + 10, avec 10 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 554 = 14 × 38 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(b) 554 = 14 × 39 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 14. ✔
(c) 554 = 14 × 40 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 39, reste 8.
Comme 8 < 39 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 554 par 39 : quotient 14, reste 8.
3. 271 = 30 × 9 + 1
En 9 soirs, elle lit 270 pages ; il lui en reste encore 1.
a) Il lui faut 9 + 1 = 10 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 1 page.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 245 | non | non | oui | non | non |
| 147 | non | oui | non | non | non |
| 9 260 | oui | non | oui | non | oui |
| 9 603 | non | oui | non | oui | non |
| 8 672 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
245 → 2 + 4 + 5 = 11 147 → 1 + 4 + 7 = 12 9 260 → 9 + 2 + 6 + 0 = 17
9 603 → 9 + 6 + 0 + 3 = 18 8 672 → 8 + 6 + 7 + 2 = 23
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 6 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 9 ; □ = 4 : 12 ; □ = 7 : 15
3 solutions : 216, 246, 276.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 5 est un diviseur de 143. » Faux. 143 = 5 × 28 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 15 + 5 × 5 = 15 + 25 = 40
B = 8 + 54 ÷ 6 × 3 = 8 + 9 × 3 = 8 + 27 = 35
C = (3 + 3) × 4 − 5 = 6 × 4 − 5 = 24 − 5 = 19
D = [4 + 7 × (11 − 5)] ÷ 2 = [4 + 7 × 6] ÷ 2 = [4 + 42] ÷ 2 = 46 ÷ 2 = 23
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (4 + 4) − 4 = 8 × 8 − 4 = 64 − 4 = 60
(9 × 3 + 6) × 4 = (27 + 6) × 4 = 33 × 4 = 132
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 75 × 5 = 2 × 5 × 75 = 10 × 75 = 750
F = 36 × 68 − 36 × 58 = 36 × (68 − 58) = 36 × 10 = 360
G = 17 × 99 = 17 × (100 − 1) = 17 × 100 − 17 × 1 = 1 700 − 17 = 1 683
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 6 × 6 × 6 = 6³ 7 × 7 = 7²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 9² = 9 × 9 = 81 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 25 = 5² : carré
39 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 39 < 49 = 7²) 58 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 58 < 64 = 8²)
102 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 102 < 121 = 11²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 8 = 3 × 36 − 8 = 108 − 8 = 100
B = (3 × 6)² − 8 = 18² − 8 = 324 − 8 = 316
C = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
D = (4 + 2)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 8 : n² + 8 = 8² + 8 = 64 + 8 = 72 et 6n = 6 × 8 = 48.
72 ≠ 48 : l'égalité est fausse pour n = 8.
Pour n = 2 : n² + 8 = 2² + 8 = 4 + 8 = 12 et 6n = 6 × 2 = 12.
12 = 12 : l'égalité est vraie pour n = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 4, et seulement pour 2 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 128 :
11² = 121 ≤ 128 et 12² = 144 > 128.
a) Elle mettra 11 dalles sur chaque côté.
128 − 121 = 7
b) Il lui restera 7 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 298 et 362. » → encore 63 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 324, 361.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 324.
Le nombre mystère est 324 (324 = 18²).
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