Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (8 + 2) × 5 = 10 × 5 = 50
B = 8 + 2 × 5 = 8 + 10 = 18
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (13 + 8) ÷ 7 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 13 et 8 par 7.
D = 9 × (10 − 7) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 10 et 7.
E = 28 − 5 × 5 est une différence : c'est la différence entre 28 et le produit de 5 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 144 = 864 ≤ 866 < 870 = 6 × 145 : le quotient est 144, le reste 866 − 864 = 2.
866 = 6 × 144 + 2, avec 2 < 6.
28 × 26 = 728 ≤ 748 < 756 = 28 × 27 : le quotient est 26, le reste 748 − 728 = 20.
748 = 28 × 26 + 20, avec 20 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 270 = 12 × 22 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 270 = 12 × 21 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(c) 270 = 12 × 23 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 22, reste 6.
Comme 6 < 22 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 270 par 22 : quotient 12, reste 6.
3. 334 = 7 × 47 + 5
a) 334 jours font 47 semaines complètes et 5 jours.
Après 47 semaines complètes, on est de nouveau mardi. Il reste à avancer de 5 jours : mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 334 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 078 | oui | non | non | non | non |
| 777 | non | oui | non | non | non |
| 3 810 | oui | oui | oui | non | oui |
| 6 147 | non | oui | non | oui | non |
| 655 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
2 078 → 2 + 0 + 7 + 8 = 17 777 → 7 + 7 + 7 = 21 3 810 → 3 + 8 + 1 + 0 = 12
6 147 → 6 + 1 + 4 + 7 = 18 655 → 6 + 5 + 5 = 16
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 2 = 3 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 6 : 9
Une seule solution : 162.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 43 se termine par 3, mais 43 = 3 × 14 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 5 est un diviseur de 65. » Vrai. 65 = 5 × 13 : le reste de la division de 65 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 6 + 8 × 6 = 6 + 48 = 54
B = 6 + 72 ÷ 9 × 3 = 6 + 8 × 3 = 6 + 24 = 30
C = (5 × 6 − 3) ÷ 4 = (30 − 3) ÷ 4 = 27 ÷ 4 = 6,75
D = 2 × [21 − (5 + 3)] = 2 × [21 − 8] = 2 × 13 = 26
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(4 + 2) × 2 + 8 = 6 × 2 + 8 = 12 + 8 = 20
4 × (9 + 6) − 8 = 4 × 15 − 8 = 60 − 8 = 52
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 36 × 11 = 36 × (10 + 1) = 36 × 10 + 36 × 1 = 360 + 36 = 396
F = 2 × 62 × 50 = 2 × 50 × 62 = 100 × 62 = 6 200
G = 45 × 51 − 45 × 41 = 45 × (51 − 41) = 45 × 10 = 450
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 = 5² 4 × 4 × 4 = 4³ 0,4 × 0,4 = 0,4²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « (5 + 4)² = 5² + 4² » Faux. (5 + 4)² = 9² = 81, alors que 5² + 4² = 25 + 16 = 41.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
26 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 26 < 36 = 6²) 27 = 3³ : cube
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
118 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 118 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 1 = 2 × 36 − 1 = 72 − 1 = 71
B = (2 × 6)² − 1 = 12² − 1 = 144 − 1 = 143
C = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
D = (2 + 5)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 6 : (x + 9)² = (6 + 9)² = 15² = 225
Pour x = 0,5 : (x + 9)² = (0,5 + 9)² = 9,5² = 90,25
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
3 × 2 = 6
a) Il faut 6 carreaux le long d'un côté.
6 rangées de 6 carreaux : 6² = 6 × 6 = 36
b) Il faut 36 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 68 et 104. » → encore 35 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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