Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
B = (2 × 3)² = 6² = 36
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 2) × 6 est un produit : c'est le produit de la somme de 3 et 2 par 6.
D = 11² − 93 est une différence : c'est la différence entre le carré de 11 et 93.
E = (3 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 85 = 340 ≤ 343 < 344 = 4 × 86 : le quotient est 85, le reste 343 − 340 = 3.
343 = 4 × 85 + 3, avec 3 < 4.
27 × 89 = 2 403 ≤ 2 405 < 2 430 = 27 × 90 : le quotient est 89, le reste 2 405 − 2 403 = 2.
2 405 = 27 × 89 + 2, avec 2 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 400 = 11 × 37 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 400 = 11 × 35 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 400 = 11 × 36 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 36, reste 4.
Comme 4 < 36 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 400 par 36 : quotient 11, reste 4.
3. 205 = 7 × 29 + 2
a) 205 jours font 29 semaines complètes et 2 jours.
Après 29 semaines complètes, on est de nouveau vendredi. Il reste à avancer de 2 jours : vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 205 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 471 | non | oui | non | oui | non |
| 471 | non | oui | non | non | non |
| 2 804 | oui | non | non | non | non |
| 2 590 | oui | non | oui | non | oui |
| 815 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
6 471 → 6 + 4 + 7 + 1 = 18 471 → 4 + 7 + 1 = 12 2 804 → 2 + 8 + 0 + 4 = 14
2 590 → 2 + 5 + 9 + 0 = 16 815 → 8 + 1 + 5 = 14
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 4 = 13 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 954.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 83 se termine par 3, mais 83 = 3 × 27 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 104 est un multiple de 8. » Vrai. 104 = 8 × 13 : le reste de la division de 104 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 74 − 5 × 8 = 74 − 40 = 34
B = 9 × 7 − 2 × 6 = 63 − 12 = 51
C = (5 + 7) × 5 − 7 = 12 × 5 − 7 = 60 − 7 = 53
D = 5 × [26 − (4 + 3)] = 5 × [26 − 7] = 5 × 19 = 95
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 + (2 + 6) × 2 = 7 + 8 × 2 = 7 + 16 = 23
5 × (9 + 9) + 2 = 5 × 18 + 2 = 90 + 2 = 92
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4 × 96 × 25 = 4 × 25 × 96 = 100 × 96 = 9 600
F = 20 × 11 = 20 × (10 + 1) = 20 × 10 + 20 × 1 = 200 + 20 = 220
G = 1,5 × 0,25 + 1,5 × 0,75 = 1,5 × (0,25 + 0,75) = 1,5 × 1 = 1,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 4 × 4 × 4 = 4³ 11 × 11 = 11²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 81 = 9² : carré
87 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 87 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
115 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 115 < 121 = 11²) 116 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 116 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 1 = 5 × 25 − 1 = 125 − 1 = 124
B = (5 × 5)² − 1 = 25² − 1 = 625 − 1 = 624
C = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
D = (4 + 5)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 8 : n² + 3 = 8² + 3 = 64 + 3 = 67 et 4n = 4 × 8 = 32.
67 ≠ 32 : l'égalité est fausse pour n = 8.
Pour n = 1 : n² + 3 = 1² + 3 = 1 + 3 = 4 et 4n = 4 × 1 = 4.
4 = 4 : l'égalité est vraie pour n = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 3, et seulement pour 1 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 15 et 75. » → encore 59 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 16, 36, 64.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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