Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
B = (2 × 6)² = 12² = 144
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (7 + 6)² est un carré : c'est le carré de la somme de 7 et 6.
D = 1² + 2² est une somme : c'est la somme des carrés de 1 et de 2.
E = 6² − 18 est une différence : c'est la différence entre le carré de 6 et 18.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 94 = 846 ≤ 854 < 855 = 9 × 95 : le quotient est 94, le reste 854 − 846 = 8.
854 = 9 × 94 + 8, avec 8 < 9.
15 × 77 = 1 155 ≤ 1 164 < 1 170 = 15 × 78 : le quotient est 77, le reste 1 164 − 1 155 = 9.
1 164 = 15 × 77 + 9, avec 9 < 15.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 154 = 12 × 13 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 154 = 12 × 12 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 12. ✔
(c) 154 = 12 × 11 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 12, reste 10.
Comme 10 < 12 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 154 par 12 : quotient 12, reste 10.
3. 36 = 8 × 4 + 4
4 minibus pleins transportent 32 élèves ; il en reste 4 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 4 + 1 = 5 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 4 = 4 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 627 | non | oui | non | non | non |
| 745 | non | non | oui | non | non |
| 7 947 | non | oui | non | oui | non |
| 5 726 | oui | non | non | non | non |
| 9 900 | oui | oui | oui | oui | oui |
Sommes des chiffres :
627 → 6 + 2 + 7 = 15 745 → 7 + 4 + 5 = 16 7 947 → 7 + 9 + 4 + 7 = 27
5 726 → 5 + 7 + 2 + 6 = 20 9 900 → 9 + 9 + 0 + 0 = 18
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 0 = 5 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 6 ; □ = 4 : 9 ; □ = 7 : 12
3 solutions : 510, 540, 570.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 126 est un multiple de 9. » Vrai. 126 = 9 × 14 : le reste de la division de 126 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 63 − 6 × 6 = 63 − 36 = 27
B = 9 × 5 − 4 × 4 = 45 − 16 = 29
C = (12 + 12) × 6 − 9 = 24 × 6 − 9 = 144 − 9 = 135
D = 1,3 + 2 × 1,2 = 1,3 + 2,4 = 3,7
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 × 2 − 8) × 2 = (16 − 8) × 2 = 8 × 2 = 16
5 + (5 + 5) × 2 = 5 + 10 × 2 = 5 + 20 = 25
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 26 × 19 + 26 × 81 = 26 × (19 + 81) = 26 × 100 = 2 600
F = 28 × 9 = 28 × (10 − 1) = 28 × 10 − 28 × 1 = 280 − 28 = 252
G = 2 × 29 × 50 = 2 × 50 × 29 = 100 × 29 = 2 900
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 12 × 12 = 12² 2,5 × 2,5 = 2,5²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 11² = 11 × 11 = 121 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 36 = 6² : carré
44 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 44 < 49 = 7²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
93 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 93 < 100 = 10²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 2 = 3 × 9 − 2 = 27 − 2 = 25
B = (3 × 3)² − 2 = 9² − 2 = 81 − 2 = 79
C = 6² + 1² = 36 + 1 = 37
D = (6 + 1)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 3 : 2x³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54
Pour x = 10 : 2x³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 113 :
10² = 100 ≤ 113 et 11² = 121 > 113.
a) Elle mettra 10 dalles sur chaque côté.
113 − 100 = 13
b) Il lui restera 13 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 90 et 137. » → encore 46 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Mon chiffre des unités est 0. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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