Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 105 = 2
- 147 = 2
- 168 = 2
- 2412 = 2
Tous les quotients sont égaux à 2.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2.
Tableau B — on calcule de même :
- 62 = 3
- 217 = 3
- 25,58 ≈ 3,188
- 3010 = 3
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 3, alors que la colonne « 8 » donne 3,188.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule cartouche d'encre :
75,0012 = 6,25
Une cartouche d'encre coûte 6,25 €.
2. Prix de 31 cartouches d'encre : on multiplie le prix unitaire par 31.
6,25 × 31 = 193,75
31 cartouches d'encre coûtent 193,75 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 75,00 × 3112 = 193,75, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cartouches d'encre | 12 | 1 | 31 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 75,00 | 6,25 | 193,75 | 625,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 6,25 : c'est le prix d'une cartouche d'encre, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 30 % de 320 :
320 × 30100 = 320 × 30100 = 96
Il y a 96 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 312 sur 600 :
312600 × 100 = 0,52 × 100 = 52
Cela représente 52 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 6 représentent 4 % du total :
6 × 1004 = 150
L'effectif total est de 150 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 4 % de 150, c'est 150 × 0,04 = 6. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 20100 = 1 + 0,2 = 1,2
80 × 1,2 = 96,00
Le nouveau prix d'une paire de baskets est de 96 €.
2. Diminution de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 30100 = 1 − 0,3 = 0,7
125 × 0,7 = 87,50
Le prix soldé d'un aspirateur est de 87,50 €.
Piège classique : une baisse de 30 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 30 %. Reprendre 87,5 et l'augmenter de 30 % donne 113,75, et non 125.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
220,00200 = 1,1
On compare ce coefficient à 1 :
1,1 − 1 = 0,1, soit 10 %
Le taux d'évolution est de 10 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
« Consommer 4,5100 km » signifie que le volume consommé est proportionnel à la distance, de coefficient 4,5100 = 0,045 litre par kilomètre.
1. Pour 500 km :
4,5 × 500100 = 22,5
La voiture consomme 22,5 L.
2. Coût du trajet :
22,5 × 1,8 = 40,5 = 40,5
Le trajet coûte environ 40,50 €.
3.
Oui : on multiplie toujours la distance par le même nombre (0,045 L/km) pour obtenir le volume consommé. C'est donc bien une situation de proportionnalité.
Nuance à connaître : ce modèle est une moyenne. En pratique la consommation réelle dépend de la vitesse et du relief : la proportionnalité est un modèle simplifié, pas une loi exacte.
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