Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 1,255 = 0,25
- 1,56 = 0,25
- 2,259 = 0,25
- 3,2513 = 0,25
Tous les quotients sont égaux à 0,25.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,25.
Tableau B — on calcule de même :
- 124 = 3
- 155 = 3
- 206 ≈ 3,333
- 3612 = 3
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 3, alors que la colonne « 6 » donne 3,333.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul cahier :
67,5015 = 4,50
Un cahier coûte 4,50 €.
2. Prix de 40 cahiers : on multiplie le prix unitaire par 40.
4,50 × 40 = 180,00
40 cahiers coûtent 180 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 67,50 × 4015 = 180,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cahiers | 15 | 1 | 40 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 67,50 | 4,50 | 180,00 | 450,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 4,50 : c'est le prix d'un cahier, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 10 % de 480 :
480 × 10100 = 480 × 10100 = 48
Il y a 48 abonnés.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 110 sur 250 :
110250 × 100 = 0,44 × 100 = 44
Cela représente 44 % des spectateurs.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 24 représentent 8 % du total :
24 × 1008 = 300
L'effectif total est de 300 spectateurs.
Vérification (à faire systématiquement) : 8 % de 300, c'est 300 × 0,08 = 24. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 12 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 12100 = 1 + 0,12 = 1,12
180 × 1,12 = 201,60
Le nouveau prix d'une paire de baskets est de 201,60 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
50 × 0,8 = 40,00
Le prix soldé d'un casque audio est de 40 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 40 et l'augmenter de 20 % donne 48, et non 50.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
168,00120 = 1,4
On compare ce coefficient à 1 :
1,4 − 1 = 0,4, soit 40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 10 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 10 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 10 000 :
5,5 × 10 000 = 55 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
55 000100 000 = 0,55
La distance réelle est de 0,55 km.
2. 1,5 km = 150 000 cm. On divise par 10 000 :
150 00010 000 = 15
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 15 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 10 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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