Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 105 = 2
- 189 = 2
- 2211 = 2
- 2412 = 2
Tous les quotients sont égaux à 2.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2.
Tableau B — on calcule de même :
- 4,59 = 0,5
- 612 = 0,5
- 6,513 = 0,5
- 814 ≈ 0,571
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,5, alors que la colonne « 14 » donne 0,571.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule place de cinéma :
18,004 = 4,50
Une place de cinéma coûte 4,50 €.
2. Prix de 31 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 31.
4,50 × 31 = 139,50
31 places de cinéma coûtent 139,50 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 18,00 × 314 = 139,50, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de places de cinéma | 4 | 1 | 31 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 18,00 | 4,50 | 139,50 | 450,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 4,50 : c'est le prix d'une place de cinéma, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 45 % de 300 :
300 × 45100 = 300 × 45100 = 135
Il y a 135 licenciés en compétition.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 24 sur 200 :
24200 × 100 = 0,12 × 100 = 12
Cela représente 12 % des adhérents.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 42 représentent 12 % du total :
42 × 10012 = 350
L'effectif total est de 350 adhérents.
Vérification (à faire systématiquement) : 12 % de 350, c'est 350 × 0,12 = 42. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 30100 = 1 + 0,3 = 1,3
180 × 1,3 = 234,00
Le nouveau prix d'une trottinette est de 234 €.
2. Diminution de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 25100 = 1 − 0,25 = 0,75
400 × 0,75 = 300,00
Le prix soldé d'un aspirateur est de 300 €.
Piège classique : une baisse de 25 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 %. Reprendre 300 et l'augmenter de 25 % donne 375, et non 400.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
160,00200 = 0,8
On compare ce coefficient à 1 :
0,8 − 1 = −0,2, soit −20 %
Le taux d'évolution est de 20 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 25 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 25 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 25 000 :
12,5 × 25 000 = 312 500 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
312 500100 000 = 3,125
La distance réelle est de 3,125 km.
2. 6 km = 600 000 cm. On divise par 25 000 :
600 00025 000 = 24
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 24 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 25 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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