Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 22,55 = 4,5
- 31,57 = 4,5
- 5412 = 4,5
- 6314 = 4,5
Tous les quotients sont égaux à 4,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 4,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 152 = 7,5
- 22,53 = 7,5
- 456 = 7,5
- 107,514 ≈ 7,679
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 7,5, alors que la colonne « 14 » donne 7,679.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule place de cinéma :
36,008 = 4,50
Une place de cinéma coûte 4,50 €.
2. Prix de 18 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 18.
4,50 × 18 = 81,00
18 places de cinéma coûtent 81 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 36,00 × 188 = 81,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de places de cinéma | 8 | 1 | 18 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 36,00 | 4,50 | 81,00 | 450,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 4,50 : c'est le prix d'une place de cinéma, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 15 % de 240 :
240 × 15100 = 240 × 15100 = 36
Il y a 36 licenciés en compétition.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 30 sur 250 :
30250 × 100 = 0,12 × 100 = 12
Cela représente 12 % des adhérents.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 15 représentent 10 % du total :
15 × 10010 = 150
L'effectif total est de 150 adhérents.
Vérification (à faire systématiquement) : 10 % de 150, c'est 150 × 0,1 = 15. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 20100 = 1 + 0,2 = 1,2
80 × 1,2 = 96,00
Le nouveau prix d'un manteau est de 96 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
400 × 0,8 = 320,00
Le prix soldé d'un appareil photo est de 320 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 320 et l'augmenter de 20 % donne 384, et non 400.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
172,50150 = 1,15
On compare ce coefficient à 1 :
1,15 − 1 = 0,15, soit 15 %
Le taux d'évolution est de 15 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 50 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 50 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 50 000 :
5,5 × 50 000 = 275 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
275 000100 000 = 2,75
La distance réelle est de 2,75 km.
2. 6 km = 600 000 cm. On divise par 50 000 :
600 00050 000 = 12
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 12 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 50 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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