Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 52 = 2,5
- 104 = 2,5
- 22,59 = 2,5
- 27,511 = 2,5
Tous les quotients sont égaux à 2,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 0,753 = 0,25
- 3,757 ≈ 0,536
- 312 = 0,25
- 3,2513 = 0,25
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,25, alors que la colonne « 7 » donne 0,536.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul cahier :
4,059 = 0,45
Un cahier coûte 0,45 €.
2. Prix de 35 cahiers : on multiplie le prix unitaire par 35.
0,45 × 35 = 15,75
35 cahiers coûtent 15,75 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 4,05 × 359 = 15,75, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cahiers | 9 | 1 | 35 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 4,05 | 0,45 | 15,75 | 45,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,45 : c'est le prix d'un cahier, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 40 % de 400 :
400 × 40100 = 400 × 40100 = 160
Il y a 160 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 72 sur 200 :
72200 × 100 = 0,36 × 100 = 36
Cela représente 36 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 14 représentent 4 % du total :
14 × 1004 = 350
L'effectif total est de 350 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 4 % de 350, c'est 350 × 0,04 = 14. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 8 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 8100 = 1 + 0,08 = 1,08
80 × 1,08 = 86,40
Le nouveau prix d'une console de jeu est de 86,40 €.
2. Diminution de 40 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 40100 = 1 − 0,4 = 0,6
400 × 0,6 = 240,00
Le prix soldé d'une trottinette est de 240 €.
Piège classique : une baisse de 40 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 %. Reprendre 240 et l'augmenter de 40 % donne 336, et non 400.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
44,0040 = 1,1
On compare ce coefficient à 1 :
1,1 − 1 = 0,1, soit 10 %
Le taux d'évolution est de 10 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
« Consommer 6,5100 km » signifie que le volume consommé est proportionnel à la distance, de coefficient 6,5100 = 0,065 litre par kilomètre.
1. Pour 300 km :
6,5 × 300100 = 19,5
La voiture consomme 19,5 L.
2. Coût du trajet :
19,5 × 1,85 = 36,075 ≈ 36,08
Le trajet coûte environ 36,08 €.
3.
Oui : on multiplie toujours la distance par le même nombre (0,065 L/km) pour obtenir le volume consommé. C'est donc bien une situation de proportionnalité.
Nuance à connaître : ce modèle est une moyenne. En pratique la consommation réelle dépend de la vitesse et du relief : la proportionnalité est un modèle simplifié, pas une loi exacte.
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