Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 155 = 3
- 217 = 3
- 248 = 3
- 3612 = 3
Tous les quotients sont égaux à 3.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 3.
Tableau B — on calcule de même :
- 3,57 = 0,5
- 4,59 = 0,5
- 510 = 0,5
- 913 ≈ 0,692
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,5, alors que la colonne « 13 » donne 0,692.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul stylo :
8,804 = 2,20
Un stylo coûte 2,20 €.
2. Prix de 18 stylos : on multiplie le prix unitaire par 18.
2,20 × 18 = 39,60
18 stylos coûtent 39,60 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 8,80 × 184 = 39,60, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de stylos | 4 | 1 | 18 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 8,80 | 2,20 | 39,60 | 220,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 2,20 : c'est le prix d'un stylo, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 15 % de 400 :
400 × 15100 = 400 × 15100 = 60
Il y a 60 abonnés.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 320 sur 500 :
320500 × 100 = 0,64 × 100 = 64
Cela représente 64 % des spectateurs.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 20 représentent 5 % du total :
20 × 1005 = 400
L'effectif total est de 400 spectateurs.
Vérification (à faire systématiquement) : 5 % de 400, c'est 400 × 0,05 = 20. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 8 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 8100 = 1 + 0,08 = 1,08
240 × 1,08 = 259,20
Le nouveau prix d'un appareil photo est de 259,20 €.
2. Diminution de 10 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 10100 = 1 − 0,1 = 0,9
240 × 0,9 = 216,00
Le prix soldé d'un vélo est de 216 €.
Piège classique : une baisse de 10 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 10 %. Reprendre 216 et l'augmenter de 10 % donne 237,6, et non 240.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
135,00150 = 0,9
On compare ce coefficient à 1 :
0,9 − 1 = −0,1, soit −10 %
Le taux d'évolution est de 10 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 50 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 50 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 50 000 :
6 × 50 000 = 300 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
300 000100 000 = 3
La distance réelle est de 3 km.
2. 9 km = 900 000 cm. On divise par 50 000 :
900 00050 000 = 18
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 18 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 50 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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