Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 10,57 = 1,5
- 128 = 1,5
- 1510 = 1,5
- 19,513 = 1,5
Tous les quotients sont égaux à 1,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 84 = 2
- 126 = 2
- 168 = 2
- 27,513 ≈ 2,115
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2, alors que la colonne « 13 » donne 2,115.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul cahier :
4,506 = 0,75
Un cahier coûte 0,75 €.
2. Prix de 33 cahiers : on multiplie le prix unitaire par 33.
0,75 × 33 = 24,75
33 cahiers coûtent 24,75 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 4,50 × 336 = 24,75, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cahiers | 6 | 1 | 33 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 4,50 | 0,75 | 24,75 | 75,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,75 : c'est le prix d'un cahier, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 10 % de 140 :
140 × 10100 = 140 × 10100 = 14
Il y a 14 licenciés en compétition.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 96 sur 800 :
96800 × 100 = 0,12 × 100 = 12
Cela représente 12 % des adhérents.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 60 représentent 10 % du total :
60 × 10010 = 600
L'effectif total est de 600 adhérents.
Vérification (à faire systématiquement) : 10 % de 600, c'est 600 × 0,1 = 60. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 15 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 15100 = 1 + 0,15 = 1,15
240 × 1,15 = 276,00
Le nouveau prix d'un vélo est de 276 €.
2. Diminution de 40 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 40100 = 1 − 0,4 = 0,6
300 × 0,6 = 180,00
Le prix soldé d'une guitare est de 180 €.
Piège classique : une baisse de 40 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 %. Reprendre 180 et l'augmenter de 40 % donne 252, et non 300.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
36,0040 = 0,9
On compare ce coefficient à 1 :
0,9 − 1 = −0,1, soit −10 %
Le taux d'évolution est de 10 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 100 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 100 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 100 000 :
12,5 × 100 000 = 1 250 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
1 250 000100 000 = 12,5
La distance réelle est de 12,5 km.
2. 9 km = 900 000 cm. On divise par 100 000 :
900 000100 000 = 9
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 9 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 100 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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