Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 304 = 7,5
- 456 = 7,5
- 7510 = 7,5
- 9012 = 7,5
Tous les quotients sont égaux à 7,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 7,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 3,24 = 0,8
- 7,98 ≈ 0,988
- 8,811 = 0,8
- 11,214 = 0,8
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,8, alors que la colonne « 8 » donne 0,988.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul cahier :
6,008 = 0,75
Un cahier coûte 0,75 €.
2. Prix de 36 cahiers : on multiplie le prix unitaire par 36.
0,75 × 36 = 27,00
36 cahiers coûtent 27 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 6,00 × 368 = 27,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cahiers | 8 | 1 | 36 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 6,00 | 0,75 | 27,00 | 75,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,75 : c'est le prix d'un cahier, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 15 % de 300 :
300 × 15100 = 300 × 15100 = 45
Il y a 45 demi-pensionnaires.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 48 sur 300 :
48300 × 100 = 0,16 × 100 = 16
Cela représente 16 % des élèves.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 12 représentent 5 % du total :
12 × 1005 = 240
L'effectif total est de 240 élèves.
Vérification (à faire systématiquement) : 5 % de 240, c'est 240 × 0,05 = 12. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 30100 = 1 + 0,3 = 1,3
320 × 1,3 = 416,00
Le nouveau prix d'un smartphone est de 416 €.
2. Diminution de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 25100 = 1 − 0,25 = 0,75
200 × 0,75 = 150,00
Le prix soldé d'un vélo est de 150 €.
Piège classique : une baisse de 25 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 %. Reprendre 150 et l'augmenter de 25 % donne 187,5, et non 200.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
51,0060 = 0,85
On compare ce coefficient à 1 :
0,85 − 1 = −0,15, soit −15 %
Le taux d'évolution est de 15 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 4954,5 = 110
La vitesse moyenne est de 110 km/h.
2. En 0 h 30 min, soit 0,5 h :
d = 110 × 0,5 = 55
Le train parcourt 55 km.
3. Pour 330 km :
t = 330110 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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