Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 184 = 4,5
- 22,55 = 4,5
- 368 = 4,5
- 58,513 = 4,5
Tous les quotients sont égaux à 4,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 4,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 34 = 0,75
- 76 ≈ 1,167
- 5,257 = 0,75
- 7,510 = 0,75
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,75, alors que la colonne « 6 » donne 1,167.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule cartouche d'encre :
15,5010 = 1,55
Une cartouche d'encre coûte 1,55 €.
2. Prix de 32 cartouches d'encre : on multiplie le prix unitaire par 32.
1,55 × 32 = 49,60
32 cartouches d'encre coûtent 49,60 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 15,50 × 3210 = 49,60, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cartouches d'encre | 10 | 1 | 32 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 15,50 | 1,55 | 49,60 | 155,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 1,55 : c'est le prix d'une cartouche d'encre, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 5 % de 140 :
140 × 5100 = 140 × 5100 = 7
Il y a 7 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 96 sur 800 :
96800 × 100 = 0,12 × 100 = 12
Cela représente 12 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 24 représentent 12 % du total :
24 × 10012 = 200
L'effectif total est de 200 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 12 % de 200, c'est 200 × 0,12 = 24. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 8 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 8100 = 1 + 0,08 = 1,08
60 × 1,08 = 64,80
Le nouveau prix d'un smartphone est de 64,80 €.
2. Diminution de 10 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 10100 = 1 − 0,1 = 0,9
200 × 0,9 = 180,00
Le prix soldé d'un aspirateur est de 180 €.
Piège classique : une baisse de 10 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 10 %. Reprendre 180 et l'augmenter de 10 % donne 198, et non 200.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
48,0060 = 0,8
On compare ce coefficient à 1 :
0,8 − 1 = −0,2, soit −20 %
Le taux d'évolution est de 20 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 200 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 200 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 200 000 :
9 × 200 000 = 1 800 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
1 800 000100 000 = 18
La distance réelle est de 18 km.
2. 4,5 km = 450 000 cm. On divise par 200 000 :
450 000200 000 = 2,25
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 2,25 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 200 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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