Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 96 = 1,5
- 1510 = 1,5
- 19,513 = 1,5
- 2114 = 1,5
Tous les quotients sont égaux à 1,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 34 = 0,75
- 4,755 = 0,95
- 68 = 0,75
- 7,510 = 0,75
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,75, alors que la colonne « 5 » donne 0,95.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule place de cinéma :
26,257 = 3,75
Une place de cinéma coûte 3,75 €.
2. Prix de 22 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 22.
3,75 × 22 = 82,50
22 places de cinéma coûtent 82,50 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 26,25 × 227 = 82,50, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de places de cinéma | 7 | 1 | 22 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 26,25 | 3,75 | 82,50 | 375,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 3,75 : c'est le prix d'une place de cinéma, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 35 % de 180 :
180 × 35100 = 180 × 35100 = 63
Il y a 63 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 30 sur 250 :
30250 × 100 = 0,12 × 100 = 12
Cela représente 12 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 40 représentent 20 % du total :
40 × 10020 = 200
L'effectif total est de 200 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 20 % de 200, c'est 200 × 0,2 = 40. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 5 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 5100 = 1 + 0,05 = 1,05
80 × 1,05 = 84,00
Le nouveau prix d'une paire de baskets est de 84 €.
2. Diminution de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 25100 = 1 − 0,25 = 0,75
400 × 0,75 = 300,00
Le prix soldé d'un aspirateur est de 300 €.
Piège classique : une baisse de 25 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 %. Reprendre 300 et l'augmenter de 25 % donne 375, et non 400.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
165,00150 = 1,1
On compare ce coefficient à 1 :
1,1 − 1 = 0,1, soit 10 %
Le taux d'évolution est de 10 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 2252,5 = 90
La vitesse moyenne est de 90 km/h.
2. En 1 h 30 min, soit 1,5 h :
d = 90 × 1,5 = 135
Le train parcourt 135 km.
3. Pour 270 km :
t = 27090 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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