Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 13,53 = 4,5
- 31,57 = 4,5
- 368 = 4,5
- 4510 = 4,5
Tous les quotients sont égaux à 4,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 4,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 62 = 3
- 3612 = 3
- 3913 = 3
- 4514 ≈ 3,214
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 3, alors que la colonne « 14 » donne 3,214.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul stylo :
33,0015 = 2,20
Un stylo coûte 2,20 €.
2. Prix de 17 stylos : on multiplie le prix unitaire par 17.
2,20 × 17 = 37,40
17 stylos coûtent 37,40 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 33,00 × 1715 = 37,40, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de stylos | 15 | 1 | 17 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 33,00 | 2,20 | 37,40 | 220,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 2,20 : c'est le prix d'un stylo, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 45 % de 200 :
200 × 45100 = 200 × 45100 = 90
Il y a 90 abonnés.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 384 sur 600 :
384600 × 100 = 0,64 × 100 = 64
Cela représente 64 % des spectateurs.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 30 représentent 20 % du total :
30 × 10020 = 150
L'effectif total est de 150 spectateurs.
Vérification (à faire systématiquement) : 20 % de 150, c'est 150 × 0,2 = 30. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 25100 = 1 + 0,25 = 1,25
240 × 1,25 = 300,00
Le nouveau prix d'un manteau est de 300 €.
2. Diminution de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 25100 = 1 − 0,25 = 0,75
200 × 0,75 = 150,00
Le prix soldé d'une paire de baskets est de 150 €.
Piège classique : une baisse de 25 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 %. Reprendre 150 et l'augmenter de 25 % donne 187,5, et non 200.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
180,00120 = 1,5
On compare ce coefficient à 1 :
1,5 − 1 = 0,5, soit 50 %
Le taux d'évolution est de 50 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 20 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 20 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 20 000 :
8,4 × 20 000 = 168 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
168 000100 000 = 1,68
La distance réelle est de 1,68 km.
2. 1,5 km = 150 000 cm. On divise par 20 000 :
150 00020 000 = 7,5
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 7,5 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 20 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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