Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 108 = 1,25
- 12,510 = 1,25
- 13,7511 = 1,25
- 1512 = 1,25
Tous les quotients sont égaux à 1,25.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,25.
Tableau B — on calcule de même :
- 152 = 7,5
- 37,55 = 7,5
- 456 = 7,5
- 9212 ≈ 7,667
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 7,5, alors que la colonne « 12 » donne 7,667.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul sachet de croquettes :
87,5014 = 6,25
Un sachet de croquettes coûte 6,25 €.
2. Prix de 20 sachets de croquettes : on multiplie le prix unitaire par 20.
6,25 × 20 = 125,00
20 sachets de croquettes coûtent 125 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 87,50 × 2014 = 125,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de sachets de croquettes | 14 | 1 | 20 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 87,50 | 6,25 | 125,00 | 625,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 6,25 : c'est le prix d'un sachet de croquettes, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 30 % de 300 :
300 × 30100 = 300 × 30100 = 90
Il y a 90 licenciés en compétition.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 48 sur 200 :
48200 × 100 = 0,24 × 100 = 24
Cela représente 24 % des adhérents.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 8 représentent 4 % du total :
8 × 1004 = 200
L'effectif total est de 200 adhérents.
Vérification (à faire systématiquement) : 4 % de 200, c'est 200 × 0,04 = 8. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 15 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 15100 = 1 + 0,15 = 1,15
40 × 1,15 = 46,00
Le nouveau prix d'une paire de baskets est de 46 €.
2. Diminution de 40 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 40100 = 1 − 0,4 = 0,6
125 × 0,6 = 75,00
Le prix soldé d'un smartphone est de 75 €.
Piège classique : une baisse de 40 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 %. Reprendre 75 et l'augmenter de 40 % donne 105, et non 125.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
60,0080 = 0,75
On compare ce coefficient à 1 :
0,75 − 1 = −0,25, soit −25 %
Le taux d'évolution est de 25 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 3603 = 120
La vitesse moyenne est de 120 km/h.
2. En 1 h, soit 1 h :
d = 120 × 1 = 120
Le train parcourt 120 km.
3. Pour 360 km :
t = 360120 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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