Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 17,55 = 3,5
- 216 = 3,5
- 31,59 = 3,5
- 3510 = 3,5
Tous les quotients sont égaux à 3,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 3,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 17,57 = 2,5
- 22,59 = 2,5
- 2510 = 2,5
- 36,514 ≈ 2,607
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2,5, alors que la colonne « 14 » donne 2,607.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul stylo :
7,2012 = 0,60
Un stylo coûte 0,60 €.
2. Prix de 30 stylos : on multiplie le prix unitaire par 30.
0,60 × 30 = 18,00
30 stylos coûtent 18 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 7,20 × 3012 = 18,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de stylos | 12 | 1 | 30 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 7,20 | 0,60 | 18,00 | 60,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,60 : c'est le prix d'un stylo, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 15 % de 400 :
400 × 15100 = 400 × 15100 = 60
Il y a 60 romans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 88 sur 200 :
88200 × 100 = 0,44 × 100 = 44
Cela représente 44 % des livres.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 24 représentent 12 % du total :
24 × 10012 = 200
L'effectif total est de 200 livres.
Vérification (à faire systématiquement) : 12 % de 200, c'est 200 × 0,12 = 24. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 10 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 10100 = 1 + 0,1 = 1,1
60 × 1,1 = 66,00
Le nouveau prix d'une paire de baskets est de 66 €.
2. Diminution de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 25100 = 1 − 0,25 = 0,75
200 × 0,75 = 150,00
Le prix soldé d'un appareil photo est de 150 €.
Piège classique : une baisse de 25 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 %. Reprendre 150 et l'augmenter de 25 % donne 187,5, et non 200.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
210,00150 = 1,4
On compare ce coefficient à 1 :
1,4 − 1 = 0,4, soit 40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Le débit est une grandeur composée : débit = volumedurée. Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.
1. On divise le volume par la durée :
13518 = 7,5
Le débit du robinet est de 7,5 L/min.
2. En 60 min :
7,5 × 60 = 450
Il coule 450 L.
3. Pour 750 L :
7507,5 = 100
Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.
Vigilance sur les unités : un débit en L/min multiplié par une durée en minutes donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.
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