Activité 388 - La tournée du facteur sans retour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.

Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.

Les rues		Les carrefours	Les bâtiments
① allée des Peupliers	⑬ allée des Tilleuls	Ⓐ Place aux Herbes	a la poste
② rue des Lilas	⑭ rue de la Poste	Ⓑ Carrefour de l'Hôpital	b la bibliothèque
③ quai aux Fleurs	⑮ rue du Four	Ⓒ Rond-point de la Poste	c la salle des fêtes
④ boulevard du Parc	⑯ rue des Jardins	Ⓓ Carrefour Saint-Roch
⑤ chemin de Ronde	⑰ venelle du Chat	Ⓔ Rond-point du Stade
⑥ chemin des Vignes	⑱ avenue de la Gare	Ⓕ Rond-point des Vaches
⑦ rue des Écoles	⑲ rue du Puits	Ⓖ Carrefour des Tilleuls
⑧ rue du Moulin	⑳ chemin Creux	Ⓗ Coin du Lavoir
⑨ sentier des Prés	㉑ chemin du Lavoir	Ⓙ Carrefour des Quatre-Chemins
⑩ rue Verte	㉒ passage du Marché	Ⓚ Carrefour du Moulin
⑪ rue de l'Église	㉓ rue Neuve	Ⓛ Place du Marché
⑫ rue du Stade		Ⓜ Place du Vieux-Puits
		Ⓟ Place de la Fontaine
		Ⓠ Placette des Ormes

Légende du plan

Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.

Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :

Carrefour	A	B	C	D	E	F	G	H	J	K	L	M	P	Q
Nombre de rues	2	3	3	4	6	3	3	2	4	8	2	2	2	2
Parité	pair	impair	impair	pair	pair	impair	impair	pair	pair	pair	pair	pair	pair	pair

Vérification : la somme de ces nombres vaut 46 = 2 × 23, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.

Les carrefours à nombre impair de rues sont : B, C, F, G — il y en a 4.

Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.

Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».

Ici la poste est sur un carrefour, en D, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.

Non. Le quartier compte 4 carrefours impairs (B, C, F, G).

Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.

Non plus. Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.

C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.

Combien de rues en double, au minimum ? Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.

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Ce problème est un parcours eulérien : on emprunte chaque arête une fois. Ces articles du blog vont au-delà du programme du collège : ils sont là pour préparer la séance, pas pour être donnés aux élèves.

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Le générateur de cette activité (html, svg, tex et pdf) est écrit en Python 3 ; les PDF sont composés avec LaTeX et les figures sont vectorielles. Mon travail est sous licence Creative commons.

Version 1.0.0 : 17/08/2026
- Création de la série : 400 plans de quartier.
- Quand une tournée existe, l'itinéraire est construit puis rejoué rue par rue : chacune doit être empruntée exactement une fois.

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