site2wouf.fr : La tournée du jour

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Bill Gates

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617181920212223abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13S14N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue des Jardins⑬ allée des TilleulsS0 Place du Marchéa la poste
② boulevard du Parc⑭ rue des ÉcolesS1 Place du Vieux-Puitsb la boulangerie
③ rue de la Poste⑮ rue PasteurS2 Carrefour des Tilleulsc l'église
④ allée des Peupliers⑯ rue du MoulinS3 Place de l'Églised la gendarmerie
⑤ avenue de la Gare⑰ rue HauteS4 Place des Tanneurs
⑥ passage du Marché⑱ rue du StadeS5 Rond-point du Pont
⑦ impasse du Vieux-Four⑲ rue NeuveS6 Rond-point des Vaches
⑧ venelle du Chat⑳ chemin des VignesS7 Carrefour du Moulin
⑨ chemin Creux21 rue VerteS8 Rond-point de la Gare
⑩ quai aux Fleurs22 sentier des PrésS9 Rond-point du Stade
⑪ impasse Verte23 rue des LilasS10 Place aux Herbes
⑫ rue de l'ÉgliseS11 Carrefour des Quatre-Chemins
S12 Placette des Ormes
S13 Coin du Lavoir
S14 Carrefour de l'Hôpital
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314151617181920212223abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13S14N
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13S14
Nombre de rues223213644426124
Paritépairpairimpairpairimpairimpairpairpairpairpairpairpairimpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 46 = 2 × 23, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S2, S4, S5, S12 — il y en a 4.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S5, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Le quartier compte 4 carrefours impairs (S2, S4, S5, S12).
Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.
4.
Non plus. Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.
C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.
Combien de rues en double, au minimum ? Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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