site2wouf.fr : La tournée du jour

Aussi longtemps que les lions n'auront pas leur historien, les récits de chasse tourneront toujours à la gloire du chasseur.

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678abcdeABCDEFN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Four⑤ rue VerteⒶ Place des Tanneursa la poste
② rue du Pont⑥ rue BasseⒷ Carrefour des Tilleulsb l'école
③ chemin de Ronde⑦ allée des TilleulsⒸ Place de la Fontainec le gymnase
④ rue des Jardins⑧ rue de l'ÉgliseⒹ Place de l'Églised l'église
Ⓔ Rond-point des Vachese la mairie
Ⓕ Carrefour du Moulin
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678abcdeABCDEFN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEF
Nombre de rues242233
Paritépairpairpairpairimpairimpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 × 8, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : E, F — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en F, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, E et F, et la poste est justement sur l'un des deux (F). Il part donc de la poste et termine en E, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Carrefour du Moulin (F), prend la rue Verte ⑤ vers le nord et atteint Carrefour des Tilleuls (B).
  2. Il tourne à droite dans la rue du Four ①, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs (A).
  3. Il tourne à droite dans la rue du Pont ②, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  4. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (B).
  5. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ③, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (C).
  6. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑥, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église (D).
  7. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑦, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  8. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑧, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en E ou en F : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.

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