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Je suis né dans les prairies, là où les vents soufflent librement et où rien n'arrête la lumière du soleil. Je suis né là où il n'y a pas de barrières...
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Derrière les nombres s'arrêtait sur une question : que signifie penser l'infini ? La voici reprise — et menée jusqu'à un endroit que personne n'attendait.
L'infini paraît être le bout de la route : ce qu'on ne peut pas dépasser. Nous allons démontrer, avec un tableau et un stylo, qu'il existe des infinis plus grands que d'autres.
Aucune formule savante n'est nécessaire. Seulement du soin, et le courage de suivre le raisonnement là où il va.
Un berger qui ne sait pas compter peut malgré tout vérifier que son troupeau est complet : à chaque bête, il associe un caillou. Si les cailloux et les bêtes s'apparient exactement, les deux collections ont la même taille — sans qu'aucun nombre ait été prononcé.
C'est cette idée, et elle seule, que nous allons appliquer à l'infini. Deux collections ont « autant d'éléments » l'une que l'autre s'il existe une correspondance terme à terme entre elles, sans reste d'aucun côté.
Appliquons-la aux entiers et aux nombres pairs :
1 → 2 2 → 4 3 → 6 4 → 8 … n → 2nAucun entier n'est oublié à gauche ; aucun nombre pair n'est oublié à droite. La correspondance est parfaite. Il y a donc autant de nombres pairs que de nombres entiers, alors que les pairs ne sont qu'une partie des entiers.
C'est très exactement ce qu'Euclide déclarait impossible : parmi ses notions communes figure « le tout est plus grand que la partie ». Galilée bute sur le même mur en 1638 dans ses Discours concernant deux sciences nouvelles, en remarquant qu'il y a autant de carrés (1, 4, 9, 16…) que de nombres, puisque chaque nombre est la racine d'un carré et un seul. Sa conclusion est prudente : pour lui, « égal », « plus grand » et « plus petit » n'ont tout simplement pas de sens pour les quantités infinies.
Galilée renonce. Deux siècles et demi plus tard, quelqu'un ne renoncera pas.
L'hôtel de Hilbert. David Hilbert donnait à ce paradoxe une forme qu'on n'oublie plus. Un hôtel possède une infinité de chambres, toutes occupées. Un client se présente. Le réceptionniste ne le renvoie pas : il demande à chacun de se déplacer d'une chambre — le 1 en 2, le 2 en 3, le n en n+1 — et la chambre 1 se libère. Complet, et pourtant de la place.
Mieux : si c'est un car d'une infinité de clients qui arrive, il suffit d'envoyer chacun dans la chambre 2n. Toutes les chambres impaires se libèrent d'un coup — une infinité de places. Dans cet hôtel, « complet » ne veut plus rien dire.
Jusqu'ici, tous les infinis rencontrés se ramènent au même : on peut les lister, c'est-à-dire les numéroter 1, 2, 3… sans en oublier. Entiers, pairs, carrés — et même, plus surprenant, toutes les fractions.
La question devient alors : peut-on tout lister ? En 1891, Georg Cantor répond non, et sa démonstration tient en un tableau.
Encore un raisonnement par l'absurde, comme pour √2 : supposons possible ce que nous voulons réfuter. Supposons donc qu'on ait réussi à lister tous les nombres compris entre 0 et 1, dans un ordre quelconque, sans en oublier un seul. La liste commencerait par exemple ainsi :
| n° | nombre | écriture décimale |
|---|---|---|
| 1 | π − 3 | 0,1 4 1 5 9 2 … |
| 2 | 1/7 | 0,1 4 2 8 5 7 … |
| 3 | √2 − 1 | 0,4 1 4 2 1 3 … |
| 4 | 1/3 | 0,3 3 3 3 3 3 … |
| 5 | e − 2 | 0,7 1 8 2 8 1 … |
| 6 | 5/11 | 0,4 5 4 5 4 5 … |
Regardons la diagonale, en rouge : la 1re décimale du 1er nombre, la 2e du 2e, la 3e du 3e… Elle donne 1 4 4 3 8 5 .
Fabriquons maintenant un nombre exprès pour qu'il ne soit dans aucune ligne. Sa règle : on écrit 3 là où la diagonale donne 5, et 5 partout ailleurs. On obtient :
0,5 5 5 5 5 3 …Ce nombre est bien compris entre 0 et 1. Or il ne peut être aucun de ceux de la liste : il diffère du 1er par sa 1re décimale, du 2e par sa 2e, du ne par sa ne — par construction. Où qu'on aille le chercher dans la liste, il échoue à cette place précise.
Notre liste prétendait être complète : elle ne l'est pas. Et comme le raisonnement vaut pour n'importe quelle liste, aucune liste ne peut contenir tous les nombres entre 0 et 1. Ils sont trop nombreux pour être numérotés — leur infini est strictement plus grand que celui des entiers.
Un détail qui n'en est pas un. Pourquoi n'écrire ni 0 ni 9 ? Parce qu'un même nombre peut avoir deux écritures décimales : 0,4999… et 0,5 sont le même nombre. Si notre fabrication tombait sur une queue de 9, on aurait peut-être construit un nombre déjà présent sous un autre habillage, et la démonstration s'effondrerait. En n'employant que des 3 et des 5, on s'interdit ce cas.
Ce genre de précaution est ce qui sépare une preuve d'une belle histoire. Elle ne rend pas l'argument plus convaincant — elle le rend valable.
Cantor n'a pas été accueilli en héros. Leopold Kronecker, mathématicien influent, a combattu ses travaux et l'a traité de « charlatan scientifique ». Le reproche n'était pas une erreur de calcul : c'était que ces objets-là n'existent pas. David Hilbert prendra sa défense dans une conférence de 1925 par une formule restée célèbre : « Nul ne doit pouvoir nous chasser du paradis que Cantor a créé pour nous. »
Ce qui se discutait là, et qui se discute encore :
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Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.