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Faut rigoler !
Boris Vian (Sur mon T-shirt)
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Pendant des siècles, le hasard a été ce dont on ne pouvait rien dire. On le subissait, on l'interrogeait — les dés, les sorts, les augures — mais on ne le calculait pas.
Puis, en 1654, deux mathématiciens se sont écrit à propos d'un problème de joueur. En quelques lettres, ils ont fait entrer le hasard dans les mathématiques.
Restait la question qu'ils n'ont pas tranchée, et que personne n'a tranchée depuis : qu'est-ce que le hasard ?
Un joueur, le chevalier de Méré, pose à Blaise Pascal une question très concrète. Deux joueurs misent la même somme sur un jeu en trois manches gagnantes. La partie est interrompue : l'un mène 2 à 1. Comment partager la mise ?
La question a l'air d'un problème d'argent. C'est en réalité un problème redoutable, connu depuis deux siècles et jamais résolu : il faut évaluer une partie qui n'a pas eu lieu. Pascal écrit à Pierre de Fermat, et l'échange de lettres de 1654 fonde le calcul des probabilités. Chose remarquable, les deux hommes trouvent le même résultat par deux chemins différents — Fermat en dénombrant les cas, Pascal en raisonnant de proche en proche.
Il reste au plus deux manches à jouer : elles suffisent à départager. Écrivons-les toutes, chacune ayant la même chance de se produire (A gagne la manche, ou B la gagne) :
A A | A B | B A | B BA menait 2 à 1 : il lui suffit d'une manche pour atteindre 3. Il l'emporte donc dans les trois premiers cas, et ne perd que dans le dernier.
P(A gagne) = 3/4 P(B gagne) = 1/4La mise doit donc être partagée trois quarts / un quart. Non pas 2 contre 1 comme le score le suggère, ni moitié-moitié comme l'équité naïve le voudrait : dans les proportions exactes des chances de chacun.
On remarquera l'astuce : on écrit les deux manches même si la partie s'arrêterait avant (le cas « A A » est déjà joué après la première). C'est ce qui rend les quatre cas également probables et permet de compter. Un arbre de probabilités, au programme de 3e, donne le même résultat.
Une fois le hasard calculable, on découvre qu'il ne se comporte pas du tout comme l'intuition l'annonce. Deux expériences suffisent à s'en convaincre.
Le mathématicien américain Theodore Hill donnait à ses étudiants une consigne étrange : rentrez chez vous et lancez une pièce 200 fois en notant les résultats — ou bien inventez-les. Le lendemain, il séparait presque à coup sûr les tricheurs des honnêtes.
Son critère : il cherchait une série d'au moins six résultats identiques d'affilée. Personne n'ose en écrire une quand il invente — ça n'a pas l'air « au hasard ». Or sur 200 vrais lancers, une telle série apparaît avec une probabilité de :
≈ 96,5 %Autrement dit, la série d'apparence suspecte est la règle, et son absence l'exception. Le vrai hasard fait des paquets. C'est notre idée du hasard — bien étalée, bien alternée — qui est fausse.
Au casino de Monte-Carlo, la bille tombe sur le noir. Puis encore. Puis encore — vingt-six fois de suite. Dans la salle, les joueurs se ruent sur le rouge : il est « forcément dû ». Ils perdent des millions de francs.
Leur erreur porte aujourd'hui le nom de cet épisode — l'erreur du parieur, ou sophisme de Monte-Carlo. Elle consiste à croire que le hasard tient une comptabilité et rattrape ses retards. La suite de 26 noirs était en effet extraordinaire (environ (18/37)26, soit une chance sur 137 millions). Mais au 27e coup :
P(noir) = 18/37 ≈ 0,486 — inchangéeLa roulette n'a pas de mémoire. Ce qui était improbable, c'était la série vue d'avance ; une fois les 26 coups tombés, ils ne pèsent plus rien sur le suivant. Deux événements indépendants : la notion est au programme, et elle coûte cher à qui l'ignore.
Alors, qu'est-ce qui se « rattrape » ? Quelque chose, tout de même : c'est la loi des grands nombres, démontrée par Jacques Bernoulli et publiée en 1713 dans l'Ars Conjectandi. Elle dit que la fréquence observée se rapproche de la probabilité quand on répète beaucoup. Mais elle ne dit rien de la prochaine partie : les 26 noirs ne sont jamais compensés, ils sont simplement noyés sous les millions de coups suivants. C'est exactement la différence entre fréquence et probabilité que travaille le programme de 3e.
Nous savons désormais calculer le hasard. Cela ne dit toujours pas ce qu'il est. Trois réponses s'affrontent, et elles ne sont pas conciliables.
Pour la discussion collective :
Une définition inattendue. Au XXe siècle, Andreï Kolmogorov propose de retourner le problème. Plutôt que de demander d'où vient une suite, il demande : peut-on la résumer ? La suite « 010101… » mille fois se décrit en une phrase, elle est compressible. Une suite est dite aléatoire lorsque aucune description n'est plus courte qu'elle-même : est au hasard ce qui ne peut pas être résumé. Le hasard n'est plus une origine, c'est une forme d'incompressibilité — et, joli retournement, on démontre qu'aucun programme ne peut décider si une suite donnée est aléatoire.
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