Ce site utilise Google Analytics, Google AdSense et le service de chat Crisp pour mesurer l'audience, afficher des annonces et proposer une assistance en ligne. Acceptez-vous le dépôt de cookies ?
Je suis né dans les prairies, là où les vents soufflent librement et où rien n'arrête la lumière du soleil. Je suis né là où il n'y a pas de barrières...
🔑 Code de cette page :
Depuis des siècles, l'humanité a voulu croire que tout nombre pouvait s'écrire comme une fraction : un numérateur, un dénominateur, et tout serait ordonné.
Mais certaines découvertes ont bousculé cette vision. Les Grecs de l'Antiquité ont montré que la racine carrée de 2 ne peut pas être écrite comme une fraction. Ce fut une véritable révolution : le nombre devint « irrationnel ».
Cette découverte, nous allons la refaire ensemble — et la démontrer.
Prenez un carré dont le côté mesure 1. Sa diagonale mesure √2, c'est le théorème de Pythagore qui le dit : 1² + 1² = 2.
Cette longueur existe, on peut la tracer à la règle : elle est là, sous les yeux. La question des Grecs est autre : peut-on la mesurer ? C'est-à-dire trouver une unité, si petite soit-elle, qui tienne un nombre entier de fois dans le côté et un nombre entier de fois dans la diagonale. Si oui, le rapport des deux serait une fraction p/q.
Pendant longtemps, on a cru que c'était toujours possible. On a cherché cette fraction. On ne l'a jamais trouvée — et pour cause.
L'idée est celle du raisonnement par l'absurde : on suppose vrai le contraire de ce qu'on veut prouver, et on montre que cette supposition mène à une impossibilité. Il ne reste alors qu'une issue : la supposition était fausse.
La supposition de départ ne tient pas : √2 ne peut pas s'écrire comme une fraction. Aucune. Jamais.
Ce que la démonstration a de particulier. Elle ne dit pas « on n'a pas trouvé » : elle dit « il n'y en a pas ». C'est une preuve d'impossibilité, et c'est ce qui la rend définitive. Une calculatrice, elle, affiche 1,414213562… et s'arrête faute de place ; elle ne prouve rien du tout. Vingt siècles d'essais infructueux ne prouveraient rien non plus. Une page de raisonnement suffit.
👉 En grec ancien comme en latin, ratio signifie à la fois « raison » et « rapport ». Dire qu'un nombre est irrationnel, ce n'est donc pas dire qu'il est « fou » ou « absurde » : c'est dire qu'il échappe aux rapports simples entre entiers.
Le vocabulaire garde pourtant la trace du trouble qu'a causé la découverte. Les Grecs parlaient de longueurs incommensurables — littéralement : qu'aucune mesure commune ne peut comparer. Le mot n'accusait pas le nombre d'être déraisonnable ; il constatait que notre outil, la fraction, ne suffisait plus.
Ces découvertes mathématiques posent une question que les mathématiques, seules, ne tranchent pas :
Que signifie penser l'infini, l'incommensurable, ce qui dépasse nos catégories habituelles ?
Quelques pistes pour la discussion collective :
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.