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Les entiers naturels : ceux que l’on compte (\(0\,;\ 1\,;\ 2\,;\ \ldots\)).
Les entiers relatifs : les entiers naturels et leurs opposés.
Les nombres rationnels : les quotients de deux entiers relatifs (121/2 = 0,5 ; −232/3 = −0,6666…).
Les nombres irrationnels : ceux qui ne sont pas rationnels (\(\pi\) ; √2).
Encadrer 413 par deux multiples consécutifs de 21 :
413 = 21 × 19 + 14
399 ≤ 413 < 420
Le plus grand multiple de 27 inférieur à 112 :
112 = 27 × 4 + 4
27 × 4 = 108
Le plus petit multiple de 8 supérieur à 387 :
387 = 8 × 48 + 3
8 × (48 + 1) = 8 × 49 = 392
Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Les premiers d’entre eux : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … (1 n’est pas premier).
On divise successivement 1350 par des facteurs premiers :
| 1350 | 2 |
|---|---|
| 675 | 3 |
| 225 | 3 |
| 75 | 3 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 |
1350 = 2 × 33 × 52
k (non nul) est un diviseur de a lorsque le reste de la division euclidienne de a par k est zéro ; on dit aussi que a est un multiple de k.
À partir de la décomposition 260 = 22 × 5 × 13, on combine les facteurs :
\(260 : \{1\,;2\,;4\,;5\,;10\,;13\,;20\,;26\,;52\,;65\,;130\,;260\}\)
En multipliant les diviseurs « par paires » (le premier avec le dernier…) on retrouve 260 : 1 × 260 = 2 × 130 = 4 × 65 = 260. Cela fait gagner du temps pour écrire la liste.
Si deux entiers a et b sont divisibles par un même entier k, alors k est un diviseur commun de a et b (1 est diviseur commun à tous).
Le PGCD(a ;b) est le plus grand des diviseurs positifs communs à a et b.
Diviseurs de 24 : \(\{1;2;3;4;6;8;12;24\}\) ; de 36 : \(\{1;2;3;4;6;9;12;18;36\}\). Communs : \(\{1;2;3;4;6;12\}\), donc :
PGCD(24 ;36) = 12
On soustrait les deux nombres, on garde les deux plus petits et on recommence jusqu’à obtenir deux nombres égaux. PGCD(150 ;40) :
150 − 40 = 110
110 − 40 = 70
70 − 40 = 30
40 − 30 = 10
30 − 10 = 20
20 − 10 = 10
PGCD(150 ;40) = 10
On divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, jusqu’à un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.
PGCD(252 ;360) :
360 = 252 × 1 + 108
252 = 108 × 2 + 36
108 = 36 × 3 + 0
PGCD(252 ;360) = 36
Le PPCM de deux nombres est le plus petit entier naturel qui est un multiple commun aux deux. Il sert notamment à trouver un dénominateur commun.
Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, … ; de 6 : 6, 12, 18, …. Le plus petit multiple commun est 12 :
PPCM(4 ;6) = 12
4 = 22 et 6 = 2 × 3 : un multiple commun contient au minimum 22 × 3, d’où PPCM(4 ;6) = 12.
Deux ampoules s’allument toutes les 9 min 48 s (588 s) et toutes les 5 min 48 s (348 s). Elles s’allument ensemble à minuit ; quand de nouveau ?
588 = 22 × 3 × 72
348 = 22 × 3 × 29
PPCM = 22 × 3 × 72 × 29 = 17 052 s
Or 17 052 = 4 × 3600 + 44 × 60 + 12 : elles se rallument ensemble à 4 h 44 min 12 s.
Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Par exemple 10 et 7 (diviseurs de 10 : \(\{1;2;5;10\}\), de 7 : \(\{1;7\}\)).
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. On y parvient en divisant par leur PGCD :
156260156/260 = 156 ÷ 52260 ÷ 52156 ÷ 52/260 ÷ 52 = 353/5
Déterminer si deux entiers sont premiers entre eux.
👉 Référence : Eduscol – Les nombres premiers
Savoir qu’une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.
Mettre en œuvre un algorithme de calcul du PGCD (algorithme d’Euclide ou méthode des soustractions).
Connaître la définition du PPCM et savoir l’utiliser dans des situations concrètes (ex. synchronisation, dénominateur commun).
Utiliser la décomposition en facteurs premiers dans des calculs de PGCD ou PPCM.
Distinguer les nombres rationnels et irrationnels.
Comprendre et utiliser la notion de divisibilité, de multiple, de facteur, et de nombre premier.
Ces compétences relèvent du **cycle 4**, en particulier en lien avec le domaine "Nombres et calculs" du socle commun de connaissances, de compétences et de culture.
🔗 Texte officiel de référence : BO n°31 du 29 août 2019 — Programme de mathématiques au cycle 4
L'étude de la divisibilité, du PGCD et du PPCM est un cadre privilégié pour développer le raisonnement et l'algorithmique.
Le recours aux algorithmes (ex. : Euclide) permet une meilleure compréhension de la structure des entiers. Ces méthodes sont également l’occasion d’introduire la notion de complexité algorithmique de façon intuitive.
L’utilisation du vocabulaire précis (diviseur, multiple, facteur premier, etc.) est essentielle pour structurer la pensée mathématique et pour préparer les élèves aux raisonnements algébriques ultérieurs.
La reconnaissance des nombres rationnels et irrationnels (comme √2 ou π) ouvre vers des questionnements plus larges, à la fois historiques, culturels et scientifiques.
🔍 Pour approfondir : Documents d'accompagnement Eduscol – Nombres et calculs, cycle 4 (PDF)
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