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Laurent Petitprez

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Les conseils de Wouf

Beaucoup d’élèves entrant au lycée ont en effet des difficultés à manipuler les fractions, les racines carrées, les puissances, à factoriser des expressions… Ces notions, apprises au collège, sont mal assimilées, et le programme des classes de lycée ne prévoit pas de les retravailler en profondeur.

Cet ouvrage propose une remédiation pas à pas. Un code simple et mnémotechnique est associé à chacune des règles et rappelé dans toutes les corrections d’exercices. Il permet de se repérer et de comprendre ses erreurs.

La faculté de citer est un substitut commode à l'intelligence.

Somerset Maugham

Voir toutes les citations.


Arithmétique, en troisième imprimer

images : Arithmétique, en troisième
Résumé du cours:

Arithmétique

I. RAPPELS : LES ENSEMBLES DE NOMBRES

1) Les entiers naturels :

Ce sont les nombres que l'on peut compter sur ses doigts.

ex : 0 ; 1 ; 2 ...

2) Les entiers relatifs :

Ce sont les entiers naturels et leurs opposés.

ex : ... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ...

3) Les nombres rationnels :

Ce sont les résultats des divisions de 2 nombres entiers relatifs.

Si la division tombe juste, on les appelle aussi " décimaux ".

ex : = 0,5

Certains rationnels sont négatifs.

ex :-2/3 = -0,66666...

4) Les nombres irrationnels :

ex : pi, racine de 2

II. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR DE DEUX NOMBRES :

A. Définition 1

a et k étant deux entiers naturels tel que k soit différent de 0. Lorsque a/k est un entier naturel, on dit que k est un diviseur de a. (c'est à dire quand le reste de la division euclidienne de a par k est zéro)

(On dit aussi que a est un multiple de k, ou encore que a est divisible par k)

Exemples : 18 = 2 x 9
2 est un diviseur de 18. 9 est un autre diviseur de 18.

B. Définition 2

Si deux entiers naturels a et b sont divisibles par un même entier naturel k, on dit que k est un diviseur commun de a et b.

Exemple :
36=12x3 et 24=12x2, donc 12 est un diviseur de 36 et 24.
36=8x4,5 et 24=8x3, donc 8 n'est pas un diviseur commun de 36 et 24 car il ne divise pas 36.

Remarque : 1 est un diviseur commun à tous les nombres.

C. Notation

si a et b désignent deux nombres entiers relatifs, on note PGCD(a ; b) le plus grand des diviseurs positifs communs à a et b.

Exemple :

La liste des diviseurs de 24 est :
{ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12; 24}

La liste des diviseurs de 36 est :
{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ;12 ; 18 ; 36.}

24 et 36 ont 6 diviseurs communs :
{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.}

Le plus grand d'entre eux est 12, c'est le plus grand diviseur commun de 24 et 36. On note PGCD(24 ; 36) = PGCD(36 ;24) = 12.

III. ALGORITHMES DE RECHERCHE DU PGCD :

A. Algorithme des différences :

Pour déterminer PGCD(295 ; 177), on effectue les soustractions successives :

  • 295-177=118
  • 177-118=59
  • 118-59=59
  • On prend les deux nombres et on les soustrait.
  • On prend les deux plus petits et on recommence.
  • On s'arrête lorsque l'on obtient deux nombres égaux.

Propriété :

Le plus grand diviseur commun est le dernier reste non nul dans la succession des différences de l'algorithme.

B. l'algorithme d'Euclide.

Pour déterminer PGCD(252 ; 360) :

  • Effectuer la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit :
    360 = 252 x 1 + 108
  • Effectuer la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente, jusqu'à ce que le reste de la division soit égal à 0.
  • 252 = 108 x 2 + 36
  • 108 = 36 x 3 + 0

Le plus grand diviseur commun est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes de l'algorithme d'Euclide.(ici 36)

IV. NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX. FRACTIONS IRREDUCTIBLES :

A. Nombres premiers entre eux :

On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur plus grand diviseur commun est égal à 1.

Exemples :

1) 10 et 7 sont premiers entre eux ; en effet :
les diviseurs positifs de 10 sont 1, 2, 5 et 10,
les diviseurs positifs de 7 sont 1 et 7,
donc PGCD(10 ; 7) = 1 et 10 et 7 sont premiers entre eux.

2) 221 et 69 sont premiers entre eux ; en effet, en appliquant l'algorithme d'Euclide,

  • 221 = 69 x 3 + 14
  • 69 = 14 x 4 + 13
  • 14 = 13 x 1 + 1
  • 13 = 1 x 13 + 0

donc PGCD(221 ; 69) = 1.

B. Fraction irréductible :

On dit qu'une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Exemples : PGCD(10 ; 7) = 1 donc 10/7 est une fraction est irréductible.

C.Propriété :

Lorsque l'on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.

Exemples :
On sait que PGCD(252 ; 360) = 36 donc : ....... = est une fraction irréductible.

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Les exercices du jour !

En cliquant sur l'image ci-dessous, vous pourrez voir des exercices classiques corrigés, nouveaux chaque jour !

Officiel:

COMPETENCES EXIGIBLES

Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux.

Savoir qu'une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.

Commentaires:

Cette partie d'arithmétique permet une première synthèse sur les nombres, intéressante tant du point de vue de l'histoire des mathématiques que pour la culture générale des élèves.

Depuis la classe de cinquième, les élèves ont pris l'habitude de simplifier les écritures fractionnaires : la factorisation du numérateur et du dénominateur se fait grâce aux critères de divisibilité et à la pratique du calcul mental. Reste à savoir si la fraction obtenue est irréductible ou non.

On remarque que la somme et la différence de 2 multiples d'un nombre entier sont eux-mêmes multiples de cet entier. On construit alors un algorithme, celui d'Euclide ou un autre, qui donnant le PGCD de 2 nombres entiers, permet de répondre à la question dans tous les cas.

Les activités proposées ne nécessitent donc pas le recours aux nombres premiers. Les tableurs et logiciels de calcul formel peuvent, sur ce sujet, être exploités avec profit.A côté des nombres rationnels, on rencontre au collège des nombres irrationnels comme pi et racine de 2 . On pourra éventuellement démontrer l'irrationalité de racine de 2 . Une telle étude peut également mise à profit pour bien distinguer le calcul exact et le calcul approché.

Logiciel

Ce logiciel aborde l'essentiel des notions de mathématiques de la classe de 3ème. Monoposte : 29,00 €

Cahier d'exercices iParcours MATHS 3e (éd. 2017)

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Manuel iParcours Maths 3ème (Cycle 4)

Un manuel de cycle 4, conforme au programme 2016, pour la classe de 3ème. Le manuel : 14,95 €

Manuel Sésamath 3e (éd. 2012)

Un manuel de mathématiques de l'association Sésamath pour les classes de 3e (édition 2012). Prix du produit : 11,80 €

Plus de Produits

Liens

Calculator:

Calculator permet le calcul détaillé du pgcd de deux entiers

pgcd_py_tkinter.py

Exemples de sources Python, pour le calcul du pgcd d'une liste de nombres entiers

  • Les exercices du jours et des milliers de téléchargement - Arithmétique
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  • Et la correction !

Téléchargements:

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  • Page : https://site2wouf.fr/arithmetique.php
  • Catégorie : Mathématiques

Etat des lieux du site2wouf.fr, été 2021.

Je profite des vacances et de la météo désastreuse dans le Pas-de-Calais en ce mois de juillet pour dresser un état des lieux du site. La première version date des débuts d'internet mais la version actuelle, avec ce nom de domaine est né en 2008, en janvier.

Environs quatre millions de pages ont été visitées depuis 2008. 84% des visiteurs sont français, le reste se partageant majoritairement entre les Etats Unis, et l' Afrique du Nord (6% pour la Tunisie)

Historiquement, les premières versions regroupaient surtout des pages de type leçons en Mathématiques couvrant l'ensemble du collège, ce sont ces pages qui continuent à générer le plus de visites aujourd'hui. (Ainsi la page d'entrée la plus fréquente est une leçon de trigonométrie pour les élèves de troisième. )

Aujourd'hui, à la dispositions des élèves et des collègues, vous pouvez trouver sur le site2wouf.fr :

  • 3600 feuilles de problèmes gratuites en pdf pour tous (la résolution dépend du niveau)
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lien vers l'article sur wouf blog
 

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