Développer et factoriser : la distributivité

🎒 Pour les élèves

Développer, c'est enlever les parenthèses : on passe d'un produit à une somme. Factoriser, c'est l'inverse.
Le facteur devant la parenthèse multiplie tous les termes, pas seulement le premier.
⚠️ Un facteur négatif change le signe de chaque terme. Et un « − » devant une parenthèse change les signes à l'intérieur : − (3x − 5) devient − 3x + 5.
Pour vérifier une factorisation, il suffit de redévelopper : on doit retomber sur l'expression de départ.
Le chronomètre démarre automatiquement : 1 min 30.

5ème 4ème 3ème DNB

📽️ Pour les enseignants

Projetez cette page au TBI en début de séance.
Trois familles, isolables par les onglets : distributivité simple (5^e-4^e), double distributivité et carré, factorisation (facteur commun numérique, monôme, différence de deux carrés).
La page comble la marche manquante entre la réduction d'expressions et les identités remarquables, qui avaient déjà leurs propres séries.
Les signes négatifs sont travaillés explicitement : moins dans la parenthèse, facteur négatif, parenthèse précédée d'un moins.
Les corrections détaillent chaque produit, y compris les quatre produits de la double distributivité et la réduction des termes en x.

TBI Automatismes Calcul littéral Sans calculatrice

📋 Programme : Nombres et calculs — utiliser le calcul littéral, développer et factoriser des expressions algébriques simples, en mobilisant la distributivité (cycle 4, de la 5^e à la 3^e). Texte en vigueur : arrêté du 9 novembre 2015 modifié — le nouveau programme de cycle 4 (arrêté du 18 février 2026) s'appliquera en 4^e à la rentrée 2027 et en 3^e à la rentrée 2028.

📐 La technique

Une seule règle, lue dans les deux sens

k(a + b) = ka + kb. De gauche à droite on développe ; de droite à gauche on factorise. C'est la même égalité.

Situation	Exemple	Résultat
Distributivité simple	5(2x + 3)	10x + 15
Moins dans la parenthèse	5(2x − 3)	10x − 15
Facteur négatif	−5(2x + 3)	−10x − 15
Moins devant la parenthèse	7x − (2x − 4)	5x + 4
Double distributivité	(x + 2)(3x − 1)	3x² + 5x − 2

Le piège du signe

Trois erreurs reviennent sans cesse, et ce sont toutes des erreurs de signe :

⚠️ Oublier le second terme : 5(2x + 3) qui devient « 10x + 3 ». Le facteur multiplie tout ce qui est dans la parenthèse.

⚠️ Le facteur négatif : −5(2x + 3) = −10x − 15, et non −10x + 15.

⚠️ Le moins devant la parenthèse : −(2x − 4) revient à multiplier par −1, donc tous les signes changent : −2x + 4.

Factoriser : chercher ce qui est commun

On repère ce que les termes ont en commun — un nombre, une lettre, ou les deux — et on le met en facteur.

💡 Exemples : 12x + 18 = 6(2x + 3) ; 6x² + 9x = 3x(2x + 3).

Une factorisation doit être complète : dans 6(2x + 3), les nombres 2 et 3 n'ont plus de facteur commun, on ne peut pas aller plus loin.

Le contrôle qui ne trompe pas

Après une factorisation, redéveloppez : si vous retrouvez l'expression de départ, c'est juste. Ce contrôle coûte dix secondes et vaut mieux que toutes les relectures.

📖 Leçon : calcul littéral (5^ème) 📖 Leçon : écritures littérales (4^ème) 📖 Leçon : identités remarquables (3^ème) ✏️ Exercices du jour ⚡ QF : réduire une expression ⚡ QF : égalités remarquables ⚡ Automatismes DNB 2026

Calcul littéral — distributivité

Développer et factoriser

🔑 code :

01:30

Développer (3x + 5)(4x − 3)

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Cette page est développée en pure PHP

16 août 2026 : version 1.0.0 — neuvième question flash issue des automatismes DNB. Elle comble la marche qui manquait entre réduire une expression et les identités remarquables, qui avaient déjà leurs séries. Le générateur functions/developper_factoriser.php a été enrichi à cette occasion : il ne produisait que des « + ». Six sous-types ont été ajoutés autour du signe moins (dans la parenthèse, en facteur, devant la parenthèse) et de la factorisation par un nombre ou par un monôme, avec des corrections détaillées. Deux défauts anciens corrigés au passage : « 3a² + 3a » attendait « a(3a + 3) » et « 4b² − 4 » attendait « (2b − 2)(2b + 2) » — deux factorisations incomplètes, donc deux questions à double réponse. Les coefficients sont désormais tirés premiers entre eux. La session et le PDF du DNB en profitent.
10 sept. 2026 : le code de la question flash s'affiche aussi dans l'en-tête de la carte — le bouton « Nouvelle question » ramenant sur la carte, l'élève ne voyait jamais celui du haut de page.

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Question Flash : développer et factoriser | Site2Wouf

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