site2wouf.fr : Les allumettes du jour

Les iguanes c'est ultra bizarre.

Vincent Delerm

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Fiche n°
samedi 29 août 2026

Le tas d'allumettes, la règle du jeu et les trois questions :

Le jeu des allumettes

Deux joueurs, Alice et Bruno, disposent d'un tas d'allumettes. Ils jouent chacun leur tour, Alice commence. À son tour, un joueur doit retirer 1 ou 2 allumette(s) — pas le choix de passer.
Celui qui prend la dernière allumette gagne.
Voici le tas de départ, 33 allumettes :
Les questions montent en difficulté : la première se traite à la main, la dernière demande une règle générale et sa justification.
  1. Pour commencer, on joue avec un petit tas de 6 allumettes. Alice a-t-elle une façon de gagner à coup sûr ? On pourra examiner les situations une par une, en partant de 0 allumette.
  2. Revenons au tas de 33 allumettes. Qui gagne, si les deux joueurs jouent parfaitement ? Si c'est Alice, quel est son premier coup ?
  3. Décrire toutes les positions perdantes — celles où le joueur qui doit jouer est condamné, quoi qu'il fasse. Justifier la règle trouvée.

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Corrigé :

Le jeu des allumettes — Correction

Le bon point de vue. Ne cherchons pas « quel coup jouer », mais classons chaque position (le nombre d'allumettes restantes) en deux catégories, du point de vue du joueur qui doit jouer :
  • une position est perdante si tous les coups possibles offrent à l'adversaire une position gagnante ;
  • une position est gagnante s'il existe au moins un coup donnant à l'adversaire une position perdante.
On construit ce classement à partir de la fin, en partant de 0 allumette. Se retrouver devant 0 allumette signifie que l'adversaire vient de prendre la dernière : il a gagné, donc 0 est une position perdante.
1. Construisons le tableau jusqu'à 6 :
Allumettes restantes0123456
Le joueur qui doit jouerperdgagnegagneperdgagnegagneperd
Avec 6 allumettes, la position de départ est perdante : Alice, qui commence, ne peut pas gagner si Bruno joue bien.
2. Poursuivons le même tableau jusqu'à 33. Les positions perdantes rencontrées sont :
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …
33 est une position perdante. Alice, qui commence, est donc condamnée : quoi qu'elle joue, Bruno peut toujours lui rendre une position perdante.
C'est Bruno qui gagne, à condition de jouer correctement.
3.
Les positions perdantes sont exactement les multiples de 3 : 0, 3, 6, 9, …
Pourquoi ? Depuis un multiple de 3, tout coup retire entre 1 et 2 allumettes : on tombe donc forcément sur un nombre qui n'est pas un multiple de 3. Inversement, depuis un nombre qui n'est pas multiple de 3, on peut toujours retirer juste ce qu'il faut (entre 1 et 2) pour retomber sur le multiple de 3 juste en dessous.
La stratégie. Celui qui laisse toujours à l'autre un multiple de 3 gagne. Et il y parvient toujours : si le tas vaut 3q + r avec r entre 1 et 2, il retire r. C'est l'astuce des « allumettes complémentaires » — si l'adversaire prend a, on prend 3 − a.
Ici 33 = 3 × 11 : c'est un multiple, position perdante.
À retenir, bien au-delà des allumettes. Analyser un jeu à deux, c'est classer les positions en gagnantes et perdantes en remontant depuis la fin. La même méthode s'applique à quantité de jeux — et c'est exactement ce que fait un programme d'échecs, en beaucoup plus gros.

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