site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

12345678910111213141516abcdABCDEFGHIJKLN
Le car part de l'école, au carrefour I, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑨ quai aux FleursⒶ Place Sainte-CroixⒿ Place de la Fontaine
① rue du Puits⑩ passage du MarchéⒷ Place de l'ÉgliseⓀ Rond-point de la Poste
② rue des Lilas⑪ rue du MoulinⒸ Place du MarchéⓁ Coin du Lavoir
③ rue du Pont⑫ rue de la PosteⒹ Carrefour de la MairieLes bâtiments
④ chemin des Vignes⑬ rue VerteⒺ Carrefour du Moulina l'école
⑤ venelle du Chat⑭ chemin de RondeⒻ Rond-point des Vachesb le marché couvert
⑥ allée des Peupliers⑮ boulevard du ParcⒼ Rond-point du Pontc la pharmacie
⑦ rue Pasteur⑯ chemin du LavoirⒽ Place des Tanneursd la boulangerie
⑧ allée des TilleulsLes carrefoursⒾ Place du Vieux-Puits
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

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Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresA, C, D, G, I, K6
clairsB, E, F, H, J, L6
Il y a 6 carrefours sombres et 6 clairs. Il y en a autant de chaque côté.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 12 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Oui. Un circuit existe :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend le quai aux Fleurs ⑨ vers l'ouest jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ④, vers le nord, jusqu'à Place du Marché (C).
Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
Il tourne à droite dans la rue du Puits ①, vers le nord, jusqu'à Place Sainte-Croix (A).
Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ②, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église (B).
Il tourne à gauche dans la rue du Pont ③, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (D).
Il continue tout droit dans l'allée des Peupliers ⑥, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (H).
Il tourne à gauche dans la rue Verte ⑬, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (G).
Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑫, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (J).
Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑮, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (K).
Il continue tout droit dans le chemin du Lavoir ⑯, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir (L).
Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑭, vers le nord, jusqu'à Place du Vieux-Puits (I).
Le car est passé une fois par chaque carrefour et se retrouve à l'école.
4.
Oui, et c'est déjà fait : le trajet ci-dessus dessert tous les carrefours. Il suffit au car de s'arrêter avant le dernier trajet de retour.

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