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Fiche n°
dimanche 30 août 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

1234567891011121314151617abcdABCDEFGHIJKLMN
Le car part de l'école, au carrefour M, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑩ sentier des PrésⒷ Place du MarchéⓁ Place Sainte-Croix
① chemin Creux⑪ chemin du LavoirⒸ Placette des OrmesⓂ Place du Vieux-Puits
② passage du Marché⑫ rue de la MairieⒹ Carrefour des TilleulsLes bâtiments
③ rue du Moulin⑬ rue du PuitsⒺ Rond-point du Ponta l'école
④ allée des Peupliers⑭ rue des JardinsⒻ Place de l'Égliseb le marché couvert
⑤ rue du Pont⑮ chemin des VignesⒼ Rond-point des Vachesc la boulangerie
⑥ rue Verte⑯ impasse des CerisiersⒽ Rond-point du Staded l'église
⑦ chemin de Ronde⑰ boulevard du ParcⒾ Carrefour Saint-Roch
⑧ rue des LilasLes carrefoursⒿ Rond-point de la Poste
⑨ rue PasteurⒶ Carrefour de l'HôpitalⓀ Carrefour de la Mairie
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

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Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresC, D, E, G, J, L, M7
clairsA, B, F, H, I, K6
Il y a 7 carrefours sombres et 6 clairs. Il y en a donc 1 de plus du côté des sombres.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 13 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Non. Un circuit revient à son point de départ : il compte autant d'arrêts sombres que de clairs. Or ce quartier a 7 carrefours sombres et 6 clairs — c'est impossible.
4.
Oui, à condition de ne pas revenir. Un trajet possible au départ de M :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend la rue des Jardins ⑭ vers le nord jusqu'à Carrefour Saint-Roch (I).
Il continue tout droit dans la rue Pasteur ⑨, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
Il continue tout droit dans l'allée des Peupliers ④, vers le nord, jusqu'à Place du Marché (B).
Il tourne à droite dans la rue du Moulin ③, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (D).
Il continue tout droit dans la rue Verte ⑥, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (A).
Il continue tout droit dans le chemin Creux ①, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes (C).
Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑤, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (F).
Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
Il continue tout droit dans le chemin du Lavoir ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (H).
Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ⑫, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (J).
Il continue tout droit dans le chemin des Vignes ⑮, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (K).
Il tourne à gauche dans l'impasse des Cerisiers ⑯, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix (L).
Les 13 carrefours ont été desservis une fois chacun. Le car termine loin de l'école : c'est permis ici, mais pas à la question 3.

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