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Fiche n°
mardi 15 septembre 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

123456789101112131415abcdABCDEFGHIJKLN
Le car part de l'école, au carrefour B, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑨ rue BasseⒷ Placette des OrmesⓀ Carrefour Saint-Roch
① rue de la Poste⑩ chemin CreuxⒸ Coin du LavoirⓁ Place de l'Église
② rue de la Mairie⑪ chemin de RondeⒹ Rond-point du StadeLes bâtiments
③ rue Pasteur⑫ rue des LilasⒺ Place du Marchéa l'école
④ rue des Jardins⑬ chemin des VignesⒻ Rond-point des Vachesb la mairie
⑤ sentier des Prés⑭ impasse du PuitsⒼ Rond-point de la Postec le marché couvert
⑥ rue de l'Église⑮ rue des ÉcolesⒽ Place Sainte-Croixd le lavoir
⑦ rue du FourLes carrefoursⒾ Place de la Fontaine
⑧ chemin du LavoirⒶ Carrefour de l'HôpitalⒿ Place des Tanneurs
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

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Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresA, F, G, H, I, L6
clairsB, C, D, E, J, K6
Il y a 6 carrefours sombres et 6 clairs. Il y en a autant de chaque côté.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 12 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Non. Si l'on retire le carrefour G, le quartier tombe en 2 morceaux : toute route de l'un à l'autre passe par lui. Un circuit qui reviendrait à l'école devrait donc s'y arrêter au moins deux fois — c'est interdit.
4.
Oui, à condition de ne pas revenir. Un trajet possible au départ de B :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend la rue Pasteur ③ vers le sud jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑨, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (E).
Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑧, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix (H).
Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (K).
Il continue tout droit dans le chemin des Vignes ⑬, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (I).
Il tourne à droite dans la rue du Four ⑦, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade (D).
Il continue tout droit dans la rue de la Mairie ②, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (A).
Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ④, vers l'ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (C).
Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑤, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (G).
Il continue tout droit dans la rue des Lilas ⑫, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (J).
Il continue tout droit dans l'impasse du Puits ⑭, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (L).
Les 12 carrefours ont été desservis une fois chacun. Le car termine loin de l'école : c'est permis ici, mais pas à la question 3.

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