site2wouf.fr : La tournée du jour

La seule différence entre un ouvrier qui travaille à la mine et un musicien de jazz, c'est que le musicien n'a pas de lampe frontale.

Daniel Humair. (sur Mon tshirt!)

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

12345678910111213abcdABCDEFGHIJN
Le car part de l'école, au carrefour G, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑧ rue du MoulinⒷ Placette des OrmesⒿ Place des Tanneurs
① sentier des Prés⑨ passage du MarchéⒸ Place de la FontaineLes bâtiments
② allée des Tilleuls⑩ rue de la PosteⒹ Carrefour Saint-Rocha l'école
③ rue du Four⑪ rue PasteurⒺ Place du Vieux-Puitsb la pharmacie
④ rue des Lilas⑫ rue des JardinsⒻ Carrefour de la Mairiec la mairie
⑤ rue du Pont⑬ rue du StadeⒼ Place du Marchéd le stade
⑥ rue des ÉcolesLes carrefoursⒽ Coin du Lavoir
⑦ boulevard du ParcⒶ Rond-point du StadeⒾ Rond-point de la Poste
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

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Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresB, C, D, G, I5
clairsA, E, F, H, J5
Il y a 5 carrefours sombres et 5 clairs. Il y en a autant de chaque côté.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 10 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Oui. Un circuit existe :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend la rue de la Poste ⑩ vers l'est jusqu'à Carrefour de la Mairie (F).
Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑤, vers le nord, jusqu'à Place de la Fontaine (C).
Il tourne à droite dans la rue des Lilas ④, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (A).
Il continue tout droit dans le sentier des Prés ①, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes (B).
Il tourne à droite dans la rue du Four ③, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (E).
Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑦, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (J).
Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑬, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (I).
Il continue tout droit dans la rue des Jardins ⑫, vers l'ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (H).
Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑪, vers le nord, jusqu'à Place du Marché (G).
Le car est passé une fois par chaque carrefour et se retrouve à l'école.
4.
Oui, et c'est déjà fait : le trajet ci-dessus dessert tous les carrefours. Il suffit au car de s'arrêter avant le dernier trajet de retour.

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