site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

12345678910111213141516abcdABCDEFGHIJKLN
Le car part de l'école, au carrefour L, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑨ rue de la MairieⒶ Place du Vieux-PuitsⒿ Place des Tanneurs
① rue des Lilas⑩ boulevard du ParcⒷ Carrefour du MoulinⓀ Fontaine Notre-Dame
② rue du Stade⑪ chemin du LavoirⒸ Place Sainte-CroixⓁ Carrefour Saint-Roch
③ rue des Écoles⑫ rue BasseⒹ Rond-point des VachesLes bâtiments
④ allée des Peupliers⑬ chemin CreuxⒺ Carrefour de l'Hôpitala l'école
⑤ venelle du Chat⑭ rue PasteurⒻ Coin du Lavoirb la gendarmerie
⑥ rue du Puits⑮ rue du MoulinⒼ Carrefour du Lavoirc la pharmacie
⑦ rue Neuve⑯ avenue de la GareⒽ Rond-point du Pontd le cimetière
⑧ chemin des VignesLes carrefoursⒾ Place du Marché
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

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Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresA, D, F, H, I, L6
clairsB, C, E, G, J, K6
Il y a 6 carrefours sombres et 6 clairs. Il y en a autant de chaque côté.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 12 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Oui. Un circuit existe :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend l'avenue de la Gare ⑯ vers l'est jusqu'à Place des Tanneurs (J).
Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑭, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (H).
Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑬, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (G).
Il continue tout droit dans la rue Basse ⑫, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (I).
Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑤, vers le nord, jusqu'à Place Sainte-Croix (C).
Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (D).
Il continue tout droit dans la rue des Écoles ③, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (B).
Il continue tout droit dans la rue des Lilas ①, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (A).
Il tourne à gauche dans la rue du Stade ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (E).
Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (F).
Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑪, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (K).
Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑮, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (L).
Le car est passé une fois par chaque carrefour et se retrouve à l'école.
4.
Oui, et c'est déjà fait : le trajet ci-dessus dessert tous les carrefours. Il suffit au car de s'arrêter avant le dernier trajet de retour.

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