site2wouf.fr : La tournée du jour

Je suis un homme d'intérieur, toujours au comptoir, jamais en terrasse.

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

12345678910111213141516abcdABCDEFGHIJKLN
Le car part de l'école, au carrefour A, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑨ chemin du LavoirⒶ Place du MarchéⒿ Rond-point du Stade
① boulevard du Parc⑩ rue de la PosteⒷ Place aux HerbesⓀ Rond-point des Vaches
② avenue de la Gare⑪ passage du MarchéⒸ Place Sainte-CroixⓁ Coin du Lavoir
③ rue du Puits⑫ chemin de RondeⒹ Rond-point de la PosteLes bâtiments
④ rue du Moulin⑬ rue BasseⒺ Carrefour de l'Hôpitala l'école
⑤ rue Haute⑭ sentier des PrésⒻ Carrefour des Tilleulsb le stade
⑥ rue du Stade⑮ quai aux FleursⒼ Fontaine Notre-Damec la mairie
⑦ chemin des Vignes⑯ rue VerteⒽ Rond-point du Pontd le lavoir
⑧ rue PasteurLes carrefoursⒾ Place de l'Église
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

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Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresB, C, D, G, H, J6
clairsA, E, F, I, K, L6
Il y a 6 carrefours sombres et 6 clairs. Il y en a autant de chaque côté.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 12 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Oui. Un circuit existe :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend l'avenue de la Gare ② vers l'ouest jusqu'à Place aux Herbes (B).
Il tourne à gauche dans la rue du Puits ③, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (E).
Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (G).
Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑫, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (L).
Il tourne à gauche dans la rue Verte ⑯, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (H).
Il continue tout droit dans la rue Basse ⑬, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches (K).
Il continue tout droit dans le quai aux Fleurs ⑮, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (J).
Il continue tout droit dans le sentier des Prés ⑭, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église (I).
Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ④, vers le nord, jusqu'à Place Sainte-Croix (C).
Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (F).
Il continue tout droit dans la rue Haute ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (D).
Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ①, vers le nord, jusqu'à Place du Marché (A).
Le car est passé une fois par chaque carrefour et se retrouve à l'école.
4.
Oui, et c'est déjà fait : le trajet ci-dessus dessert tous les carrefours. Il suffit au car de s'arrêter avant le dernier trajet de retour.

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