site2wouf.fr : La tournée du jour

Il vaut mieux prendre ses désirs pour des réalités que de prendre son slip pour une tasse à café.

Pierre Dac (Nouveau design !)

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

1234567891011121314abcdABCDEFGHIJKN
Le car part de l'école, au carrefour A, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑧ allée des TilleulsⒶ Place des TanneursⒾ Place de l'Église
① rue Basse⑨ rue des LilasⒷ Place Sainte-CroixⒿ Fontaine Notre-Dame
② impasse Verte⑩ allée des PeupliersⒸ Rond-point des VachesⓀ Carrefour de la Mairie
③ rue Verte⑪ rue du StadeⒹ Rond-point du PontLes bâtiments
④ rue Neuve⑫ rue HauteⒺ Place aux Herbesa l'école
⑤ rue des Écoles⑬ rue de l'ÉgliseⒻ Carrefour de l'Hôpitalb la bibliothèque
⑥ rue du Moulin⑭ passage du MarchéⒼ Carrefour Saint-Rochc le marché couvert
⑦ chemin des VignesLes carrefoursⒽ Carrefour des Tilleulsd la salle des fêtes
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

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Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresD, E, F, G, K5
clairsA, B, C, H, I, J6
Il y a 5 carrefours sombres et 6 clairs. Il y en a donc 1 de plus du côté des clairs.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 11 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Non. Un circuit revient à son point de départ : il compte autant d'arrêts sombres que de clairs. Or ce quartier a 5 carrefours sombres et 6 clairs — c'est impossible.
4.
Oui, à condition de ne pas revenir. Un trajet possible au départ de A :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend la rue des Écoles ⑤ vers l'ouest jusqu'à Rond-point du Pont (D).
Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑥, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (H).
Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑪, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (G).
Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑩, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (J).
Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (K).
Il continue tout droit dans la rue de l'Église ⑬, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église (I).
Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑨, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (F).
Il continue tout droit dans la rue Neuve ④, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (E).
Il continue tout droit dans l'impasse Verte ②, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (B).
Les 11 carrefours ont été desservis une fois chacun. Le car termine loin de l'école : c'est permis ici, mais pas à la question 3.

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