site2wouf.fr : La tournée du jour

La réalité n'est qu'une illusion, aussi tenace soit-elle.

Albert Einstein

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

123456789101112131415abcdABCDEFGHIJKLN
Le car part de l'école, au carrefour F, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑨ rue de l'ÉgliseⒷ Carrefour Saint-RochⓀ Place du Vieux-Puits
① rue du Pont⑩ rue des ÉcolesⒸ Place de la FontaineⓁ Carrefour du Moulin
② avenue de la Gare⑪ quai aux FleursⒹ Place du MarchéLes bâtiments
③ chemin de Ronde⑫ rue du FourⒺ Carrefour de l'Hôpitala l'école
④ rue des Lilas⑬ impasse des RosesⒻ Carrefour du Lavoirb la salle des fêtes
⑤ rue du Puits⑭ allée des TilleulsⒼ Place de l'Églisec le stade
⑥ sentier des Prés⑮ chemin des VignesⒽ Carrefour des Tilleulsd la boulangerie
⑦ venelle du ChatLes carrefoursⒾ Carrefour de la Mairie
⑧ rue du StadeⒶ Place aux HerbesⒿ Place des Tanneurs
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

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Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresA, D, E, G, H, L6
clairsB, C, F, I, J, K6
Il y a 6 carrefours sombres et 6 clairs. Il y en a autant de chaque côté.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 12 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Non. Si l'on retire le carrefour I, le quartier tombe en 2 morceaux : toute route de l'un à l'autre passe par lui. Un circuit qui reviendrait à l'école devrait donc s'y arrêter au moins deux fois — c'est interdit.
4.
Oui, à condition de ne pas revenir. Un trajet possible au départ de F :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend la rue de l'Église ⑨ vers l'est jusqu'à Carrefour des Tilleuls (H).
Il tourne à droite dans la rue du Four ⑫, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (K).
Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (L).
Il continue tout droit dans l'allée des Tilleuls ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (J).
Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑧, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (E).
Il continue tout droit dans la rue du Puits ⑤, vers le nord, jusqu'à Place de la Fontaine (C).
Il tourne à droite dans la rue des Lilas ④, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes (A).
Il continue tout droit dans la rue du Pont ①, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (B).
Il continue tout droit dans l'avenue de la Gare ②, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (D).
Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑥, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (I).
Il tourne à gauche dans l'impasse des Roses ⑬, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église (G).
Les 12 carrefours ont été desservis une fois chacun. Le car termine loin de l'école : c'est permis ici, mais pas à la question 3.

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