site2wouf.fr : La tournée du jour

Les gens qui ne rient jamais ne sont pas des gens sérieux.

Alphonse Allais (sur Mon tshirt!)

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

1234567891011121314abcdABCDEFGHIJKN
Le car part de l'école, au carrefour K, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑧ rue de la PosteⒶ Rond-point des VachesⒾ Carrefour du Moulin
① rue du Stade⑨ quai aux FleursⒷ Place du Vieux-PuitsⒿ Place des Tanneurs
② passage du Marché⑩ avenue de la GareⒸ Rond-point de la GareⓀ Carrefour du Lavoir
③ impasse des Cerisiers⑪ chemin des VignesⒹ Placette des OrmesLes bâtiments
④ rue Verte⑫ rue PasteurⒺ Rond-point du Stadea l'école
⑤ rue Haute⑬ rue du PontⒻ Carrefour de la Mairieb la bibliothèque
⑥ boulevard du Parc⑭ impasse des RosesⒼ Rond-point de la Postec le cimetière
⑦ rue des JardinsLes carrefoursⒽ Coin du Lavoird la boulangerie
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

1234567891011121314abcdABCDEFGHIJKN
Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresC, D, F, J, K5
clairsA, B, E, G, H, I6
Il y a 5 carrefours sombres et 6 clairs. Il y en a donc 1 de plus du côté des clairs.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 11 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Non. Un circuit revient à son point de départ : il compte autant d'arrêts sombres que de clairs. Or ce quartier a 5 carrefours sombres et 6 clairs — c'est impossible.
4.
Non plus. Avec un carrefour clair de plus, la tournée doit partir et arriver sur un carrefour clair. Or l'école est en K, qui est sombre.
Une tournée existe pourtant dans ce quartier : il suffirait d'installer l'école sur un carrefour clair. Ce n'est pas le plan qui est en cause, c'est l'endroit d'où l'on part.

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