site2wouf.fr : La tournée du jour

Il faut beaucoup de talent pour faire rire avec des mots. Mais il faut du génie pour amuser avec des points de suspension...

Frédéric Dard

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

12345678910111213abcdABCDEFGHIJN
Le car part de l'école, au carrefour G, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑧ rue du PuitsⒷ Place du MarchéⒿ Place de l'Église
① rue Haute⑨ passage du MarchéⒸ Rond-point de la PosteLes bâtiments
② quai aux Fleurs⑩ allée des TilleulsⒹ Fontaine Notre-Damea l'école
③ allée des Peupliers⑪ chemin CreuxⒺ Place Sainte-Croixb la pharmacie
④ rue Neuve⑫ avenue de la GareⒻ Carrefour Saint-Rochc la mairie
⑤ rue du Stade⑬ rue VerteⒼ Carrefour du Lavoird l'église
⑥ chemin de RondeLes carrefoursⒽ Rond-point de la Gare
⑦ chemin du LavoirⒶ Coin du LavoirⒾ Place du Vieux-Puits
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

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Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresA, B, D, F, H5
clairsC, E, G, I, J5
Il y a 5 carrefours sombres et 5 clairs. Il y en a autant de chaque côté.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 10 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Oui. Un circuit existe :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend le quai aux Fleurs ② vers le nord jusqu'à Coin du Lavoir (A).
Il tourne à droite dans la rue Haute ①, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (C).
Il continue tout droit dans la rue Neuve ④, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (B).
Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ③, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix (E).
Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (F).
Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑨, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (J).
Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑫, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (H).
Il continue tout droit dans la rue Verte ⑬, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (I).
Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑦, vers le nord, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (D).
Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑥, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (G).
Le car est passé une fois par chaque carrefour et se retrouve à l'école.
4.
Oui, et c'est déjà fait : le trajet ci-dessus dessert tous les carrefours. Il suffit au car de s'arrêter avant le dernier trajet de retour.

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