site2wouf.fr : La tournée du jour

Le chemin le plus court pour aller d'un point à un autre n'est pas la ligne droite, c'est le rêve.

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

12345678910111213141516abcdABCDEFGHIJKLN
Le car part de l'école, au carrefour A, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑨ chemin CreuxⒶ Carrefour de l'HôpitalⒿ Coin du Lavoir
① rue de la Mairie⑩ rue HauteⒷ Fontaine Notre-DameⓀ Carrefour de la Mairie
② chemin des Vignes⑪ avenue de la GareⒸ Place aux HerbesⓁ Place des Tanneurs
③ quai aux Fleurs⑫ rue du StadeⒹ Carrefour Saint-RochLes bâtiments
④ rue du Pont⑬ boulevard du ParcⒺ Place de l'Églisea l'école
⑤ rue du Puits⑭ rue des ÉcolesⒻ Carrefour des Tilleulsb la mairie
⑥ allée des Tilleuls⑮ rue de l'ÉgliseⒼ Carrefour du Moulinc le marché couvert
⑦ rue Verte⑯ sentier des PrésⒽ Carrefour du Lavoird la salle des fêtes
⑧ rue des JardinsLes carrefoursⒾ Place de la Fontaine
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

12345678910111213141516abcdABCDEFGHIJKLN
Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresB, C, D, H, I, K6
clairsA, E, F, G, J, L6
Il y a 6 carrefours sombres et 6 clairs. Il y en a autant de chaque côté.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 12 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Oui. Un circuit existe :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend la rue de la Mairie ① vers l'est jusqu'à Fontaine Notre-Dame (B).
Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ③, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (F).
Il continue tout droit dans le chemin Creux ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir (H).
Il continue tout droit dans la rue du Stade ⑫, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (L).
Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (K).
Il continue tout droit dans la rue de l'Église ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (J).
Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑭, vers le nord, jusqu'à Place de la Fontaine (I).
Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑬, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (G).
Il tourne à gauche dans la rue Verte ⑦, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église (E).
Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑤, vers le nord, jusqu'à Place aux Herbes (C).
Il tourne à droite dans la rue du Pont ④, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (A).
Le car est passé une fois par chaque carrefour et se retrouve à l'école.
4.
Oui, et c'est déjà fait : le trajet ci-dessus dessert tous les carrefours. Il suffit au car de s'arrêter avant le dernier trajet de retour.

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