site2wouf.fr : La tournée du jour

Si, avec un si, on peut mettre Paris dans une bouteille, on doit pouvoir aussi, avec un si bémol ou naturel, mettre une contrebasse dans un porte-documents ou un hélicon dans un carton à chapeau.

Pierre Dac (Sur mon T shirt!)

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

12345678910111213141516abcdABCDEFGHIJKLN
Le car part de l'école, au carrefour I, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑨ rue de la MairieⒶ Coin du LavoirⒿ Carrefour de l'Hôpital
① venelle du Chat⑩ rue HauteⒷ Carrefour de la MairieⓀ Place de l'Église
② rue du Four⑪ boulevard du ParcⒸ Fontaine Notre-DameⓁ Place du Vieux-Puits
③ avenue de la Gare⑫ rue du MoulinⒹ Carrefour du LavoirLes bâtiments
④ chemin Creux⑬ chemin de RondeⒺ Placette des Ormesa l'école
⑤ rue de l'Église⑭ passage du MarchéⒻ Place du Marchéb le marché couvert
⑥ rue Pasteur⑮ allée des PeupliersⒼ Rond-point du Stadec le cimetière
⑦ rue Neuve⑯ rue des ÉcolesⒽ Place de la Fontained la pharmacie
⑧ sentier des PrésLes carrefoursⒾ Rond-point du Pont
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

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Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresA, C, F, G, I, K6
clairsB, D, E, H, J, L6
Il y a 6 carrefours sombres et 6 clairs. Il y en a autant de chaque côté.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 12 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Oui. Un circuit existe :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend la rue du Moulin ⑫ vers l'est jusqu'à Place de la Fontaine (H).
Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑪, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade (G).
Il tourne à droite dans la rue Haute ⑩, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes (E).
Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑤, vers le nord, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (C).
Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ③, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (B).
Il continue tout droit dans la venelle du Chat ①, vers l'ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (A).
Il tourne à gauche dans la rue du Four ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir (D).
Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Place du Marché (F).
Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (J).
Il continue tout droit dans l'allée des Peupliers ⑮, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (K).
Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑯, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (L).
Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑬, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (I).
Le car est passé une fois par chaque carrefour et se retrouve à l'école.
4.
Oui, et c'est déjà fait : le trajet ci-dessus dessert tous les carrefours. Il suffit au car de s'arrêter avant le dernier trajet de retour.

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