site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

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Le car part de l'école, au carrefour B, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑨ rue des ÉcolesⒶ Place des TanneursⒿ Fontaine Notre-Dame
① passage du Marché⑩ rue du FourⒷ Place de la FontaineⓀ Carrefour de la Mairie
② rue du Moulin⑪ boulevard du ParcⒸ Placette des OrmesⓁ Place aux Herbes
③ rue Neuve⑫ rue PasteurⒹ Place de l'ÉgliseⓂ Place du Marché
④ impasse Verte⑬ rue de l'ÉgliseⒺ Place Sainte-CroixLes bâtiments
⑤ rue du Stade⑭ sentier des PrésⒻ Rond-point de la Garea l'école
⑥ venelle du Chat⑮ rue des JardinsⒼ Coin du Lavoirb le cimetière
⑦ rue Haute⑯ allée des PeupliersⒽ Rond-point du Pontc le stade
⑧ chemin du LavoirLes carrefoursⒾ Carrefour du Lavoird le gymnase
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

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Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresA, D, E, F, I, L6
clairsB, C, G, H, J, K, M7
Il y a 6 carrefours sombres et 7 clairs. Il y en a donc 1 de plus du côté des clairs.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 13 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Non. Un circuit revient à son point de départ : il compte autant d'arrêts sombres que de clairs. Or ce quartier a 6 carrefours sombres et 7 clairs — c'est impossible.
4.
Oui, à condition de ne pas revenir. Un trajet possible au départ de B :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend la rue du Moulin ② vers l'est jusqu'à Place des Tanneurs (A).
Il tourne à droite dans le passage du Marché ①, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (G).
Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (F).
Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑨, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (J).
Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑫, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (I).
Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑬, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (M).
Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (L).
Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑮, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie (K).
Il continue tout droit dans la rue Haute ⑦, vers le nord, jusqu'à Place Sainte-Croix (E).
Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑥, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (H).
Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑤, vers le nord, jusqu'à Place de l'Église (D).
Il tourne à gauche dans l'impasse Verte ④, vers l'ouest, jusqu'à Placette des Ormes (C).
Les 13 carrefours ont été desservis une fois chacun. Le car termine loin de l'école : c'est permis ici, mais pas à la question 3.

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