site2wouf.fr : La tournée du jour

Celui qui, dans la vie, est parti de zéro pour n'arriver à rien, n'a de merci à dire à personne.

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

123456789101112131415abcdABCDEFGHIJKLN
Le car part de l'école, au carrefour J, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑨ sentier des PrésⒷ Place des TanneursⓀ Place du Vieux-Puits
① allée des Tilleuls⑩ passage du MarchéⒸ Carrefour du MoulinⓁ Place du Marché
② rue du Pont⑪ rue du MoulinⒹ Carrefour de l'HôpitalLes bâtiments
③ rue Verte⑫ rue des JardinsⒺ Place de l'Églisea l'école
④ rue de la Poste⑬ rue du FourⒻ Carrefour de la Mairieb le stade
⑤ rue de la Mairie⑭ rue de l'ÉgliseⒼ Rond-point du Pontc la salle des fêtes
⑥ venelle du Chat⑮ boulevard du ParcⒽ Carrefour du Lavoird la mairie
⑦ rue des LilasLes carrefoursⒾ Rond-point de la Gare
⑧ impasse VerteⒶ Coin du LavoirⒿ Place Sainte-Croix
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

123456789101112131415abcdABCDEFGHIJKLN
Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresB, D, F, I, J, L6
clairsA, C, E, G, H, K6
Il y a 6 carrefours sombres et 6 clairs. Il y en a autant de chaque côté.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 12 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Non. Si l'on retire le carrefour D, le quartier tombe en 2 morceaux : toute route de l'un à l'autre passe par lui. Un circuit qui reviendrait à l'école devrait donc s'y arrêter au moins deux fois — c'est interdit.
4.
Oui, à condition de ne pas revenir. Un trajet possible au départ de J :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend la rue de l'Église ⑭ vers l'est jusqu'à Place du Vieux-Puits (K).
Il continue tout droit dans le boulevard du Parc ⑮, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (L).
Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑫, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (H).
Il continue tout droit dans le sentier des Prés ⑨, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie (F).
Il continue tout droit dans l'allée des Tilleuls ①, vers le nord, jusqu'à Coin du Lavoir (A).
Il tourne à gauche dans la rue du Pont ②, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (B).
Il tourne à gauche dans la rue Verte ③, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (C).
Il continue tout droit dans la rue de la Mairie ⑤, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare (I).
Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (G).
Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑦, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (D).
Il tourne à gauche dans l'impasse Verte ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église (E).
Les 12 carrefours ont été desservis une fois chacun. Le car termine loin de l'école : c'est permis ici, mais pas à la question 3.

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