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Pierre Desproges

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Fiche n°
jeudi 26 février 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

1234567891011121314abcdABCDEFGHIJKN
Le car part de l'école, au carrefour G, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑧ chemin des VignesⒶ Fontaine Notre-DameⒾ Rond-point du Stade
① venelle du Chat⑨ rue du StadeⒷ Place Sainte-CroixⒿ Place de la Fontaine
② rue Basse⑩ rue de la PosteⒸ Place des TanneursⓀ Place aux Herbes
③ passage du Marché⑪ avenue de la GareⒹ Carrefour du LavoirLes bâtiments
④ rue du Puits⑫ rue de l'ÉgliseⒺ Rond-point des Vachesa l'école
⑤ quai aux Fleurs⑬ chemin du LavoirⒻ Rond-point de la Gareb la pharmacie
⑥ rue de la Mairie⑭ chemin de RondeⒼ Place du Vieux-Puitsc la boulangerie
⑦ sentier des PrésLes carrefoursⒽ Carrefour de l'Hôpitald la bibliothèque
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

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Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresA, B, D, G, H, J6
clairsC, E, F, I, K5
Il y a 6 carrefours sombres et 5 clairs. Il y en a donc 1 de plus du côté des sombres.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 11 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Non. Un circuit revient à son point de départ : il compte autant d'arrêts sombres que de clairs. Or ce quartier a 6 carrefours sombres et 5 clairs — c'est impossible.
4.
Oui, à condition de ne pas revenir. Un trajet possible au départ de G :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend le chemin des Vignes ⑧ vers le nord jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
Il continue tout droit dans le passage du Marché ③, vers le nord, jusqu'à Place Sainte-Croix (B).
Il tourne à droite dans la rue Basse ②, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs (C).
Il continue tout droit dans la rue du Puits ④, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (A).
Il tourne à droite dans la venelle du Chat ①, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare (F).
Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (D).
Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ⑥, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade (I).
Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑫, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (H).
Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑪, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (K).
Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (J).
Les 11 carrefours ont été desservis une fois chacun. Le car termine loin de l'école : c'est permis ici, mais pas à la question 3.

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