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Fiche n°
jeudi 5 mars 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

123456789101112131415abcdABCDEFGHIJKLN
Le car part de l'école, au carrefour D, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑨ chemin du LavoirⒷ Fontaine Notre-DameⓀ Placette des Ormes
① rue Haute⑩ rue de la MairieⒸ Place du MarchéⓁ Carrefour Saint-Roch
② rue de la Poste⑪ passage du MarchéⒹ Carrefour des TilleulsLes bâtiments
③ rue Neuve⑫ rue VerteⒺ Rond-point de la Postea l'école
④ impasse des Roses⑬ rue PasteurⒻ Rond-point du Pontb le cimetière
⑤ allée des Tilleuls⑭ impasse Sainte-AnneⒼ Coin du Lavoirc l'église
⑥ chemin Creux⑮ rue du PuitsⒽ Carrefour de la Mairied la salle des fêtes
⑦ rue de l'ÉgliseLes carrefoursⒾ Carrefour du Moulin
⑧ boulevard du ParcⒶ Carrefour du LavoirⒿ Place du Vieux-Puits
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

123456789101112131415abcdABCDEFGHIJKLN
Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresA, D, G, H, L5
clairsB, C, E, F, I, J, K7
Il y a 5 carrefours sombres et 7 clairs. Il y en a donc 2 de plus du côté des clairs.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 12 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Non. Un circuit revient à son point de départ : il compte autant d'arrêts sombres que de clairs. Or ce quartier a 5 carrefours sombres et 7 clairs — c'est impossible.
4.
Non plus. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : elle ne peut absorber qu'un carrefour clair en trop. Il y en a 2.

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