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Fiche n°
lundi 23 mars 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

123456789101112131415161718abcdABCDEFGHIJKLMN
Le car part de l'école, au carrefour H, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑩ rue du PuitsⒶ Rond-point de la GareⓀ Place aux Herbes
① rue Neuve⑪ rue des JardinsⒷ Carrefour de l'HôpitalⓁ Carrefour du Lavoir
② chemin des Vignes⑫ rue des LilasⒸ Placette des OrmesⓂ Place du Marché
③ chemin du Lavoir⑬ quai aux FleursⒹ Place de l'ÉgliseLes bâtiments
④ rue du Stade⑭ boulevard du ParcⒺ Rond-point du Ponta l'école
⑤ rue Pasteur⑮ chemin CreuxⒻ Carrefour des Tilleulsb le gymnase
⑥ allée des Tilleuls⑯ rue de la MairieⒼ Carrefour Saint-Rochc la bibliothèque
⑦ rue Haute⑰ rue du MoulinⒽ Carrefour du Moulind la salle des fêtes
⑧ passage du Marché⑱ impasse VerteⒾ Carrefour de la Mairie
⑨ allée des PeupliersLes carrefoursⒿ Rond-point des Vaches
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

123456789101112131415161718abcdABCDEFGHIJKLMN
Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresA, C, E, F, J, L6
clairsB, D, G, H, I, K, M7
Il y a 6 carrefours sombres et 7 clairs. Il y en a donc 1 de plus du côté des clairs.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 13 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Non. Un circuit revient à son point de départ : il compte autant d'arrêts sombres que de clairs. Or ce quartier a 6 carrefours sombres et 7 clairs — c'est impossible.
4.
Oui, à condition de ne pas revenir. Un trajet possible au départ de H :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend la rue Pasteur ⑤ vers le nord jusqu'à Placette des Ormes (C).
Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ③, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (B).
Il continue tout droit dans la rue Neuve ①, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (A).
Il continue tout droit dans l'allée des Tilleuls ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église (D).
Il tourne à gauche dans la rue Haute ⑦, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (F).
Il continue tout droit dans la rue des Jardins ⑪, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (K).
Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑰, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches (J).
Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑬, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (G).
Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑫, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (I).
Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑮, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (L).
Il tourne à droite dans l'impasse Verte ⑱, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (M).
Les 13 carrefours ont été desservis une fois chacun. Le car termine loin de l'école : c'est permis ici, mais pas à la question 3.

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