site2wouf.fr : La tournée du jour

Les mathématiciens manipulent parfois de grands nombres, mais jamais dans leurs revenus.

Isaac Asimov (sur Mon tshirt!)

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Fiche n°
vendredi 9 janvier 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

12345678910111213141516abcdABCDEFGHIJKLMN
Le car part de l'école, au carrefour K, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑨ rue des ÉcolesⒶ Fontaine Notre-DameⒿ Place des Tanneurs
① quai aux Fleurs⑩ allée des TilleulsⒷ Rond-point des VachesⓀ Place de la Fontaine
② rue Pasteur⑪ rue HauteⒸ Place du Vieux-PuitsⓁ Place Sainte-Croix
③ chemin Creux⑫ chemin de RondeⒹ Rond-point de la PosteⓂ Placette des Ormes
④ rue du Puits⑬ rue NeuveⒺ Rond-point du PontLes bâtiments
⑤ impasse Sainte-Anne⑭ rue du FourⒻ Carrefour du Moulina l'école
⑥ avenue de la Gare⑮ impasse du Vieux-FourⒼ Carrefour Saint-Rochb la bibliothèque
⑦ rue du Moulin⑯ chemin des VignesⒽ Rond-point de la Garec la mairie
⑧ passage du MarchéLes carrefoursⒾ Carrefour du Lavoird le gymnase
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

12345678910111213141516abcdABCDEFGHIJKLMN
Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresA, B, F, G, I, J, M7
clairsC, D, E, H, K, L6
Il y a 7 carrefours sombres et 6 clairs. Il y en a donc 1 de plus du côté des sombres.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 13 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Non. Un circuit revient à son point de départ : il compte autant d'arrêts sombres que de clairs. Or ce quartier a 7 carrefours sombres et 6 clairs — c'est impossible.
4.
Non plus. Avec un carrefour sombre de plus, la tournée doit partir et arriver sur un carrefour sombre. Or l'école est en K, qui est clair.
Une tournée existe pourtant dans ce quartier : il suffirait d'installer l'école sur un carrefour sombre. Ce n'est pas le plan qui est en cause, c'est l'endroit d'où l'on part.

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